Дан равносторонний треугольник АВС провели прямую которая пересекла сторону треугольника АВ в точкеС1 сторону ВС в точке А1 а продолжение стороны АС в точке В1 известно что…

Обозначим длину стороны равностороннего треугольника \( ABC \) как \( a \). По условию, пусть \( AC_1 = 5k \) и \( C_1B = 2k \), где \( k \) — некоторый положительный параметр. Тогда длина стороны \( AB \) будет равна:

\[ AB = AC_1 + C_1B = 5k + 2k = 7k. \]

С аналогичным рассуждением, для \( A_1 \):

\[ BA_1 = 5m \quad \text{и} \quad A_1C = 2m, \] где \( m \) — другой положительный параметр. Тогда длина стороны \( BC \) будет равна:

\[ BC = BA_1 + A_1C = 5m + 2m = 7m. \]

Так как треугольник равносторонний, то \( AB = BC \), следовательно:

\[ 7k = 7m \Rightarrow k = m. \]

Теперь можно найти отношение \( AC \) к \( CB_1 \). Сначала заметим, что длина всей стороны \( AC \) равна:

\[ AC = AC_1 + C_1B = 5k + 2k = 7k. \]

Теперь найдем \( CB_1 \). Так как отрезок \( CB_1 \) состоит из \( C B \) и \( A_1 B_1 \), а \( A_1C \) равно \( 2m \), то необходимо найти \( B_1C \).

Исходя из равенства пропорций, можно записать, что:

\[ CB_1 = B C + A_1B_1 = 7k + 2m. \]

При этом, как мы выяснили, \( m = k \), и, следовательно, \( CB_1 = 7k + 2k = 9k \).

Итак, получили следующее соотношение:

\[ AC = 7k \text{ и } CB_1 = 9k. \]

Теперь находим искомое отношение:

\[ \frac{AC}{CB_1} = \frac{7k}{9k} = \frac{7}{9}. \]

Таким образом, значение \( \frac{AC}{CB_1} \) равно: \[ \boxed{\frac{7}{9}}. \]