11. Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР и АК, если АK: KP = 1 :3, AB = 14.

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим свойства касательной и секущей к окружности.

У нас есть точка А, из которой проведены касательная AB и секущая AK, которая пересекает окружность в точках K и P. Из условия задачи известно, что отношение отрезков AK и KP равно 1:3, а длина отрезка AB равна 14.

Сначала обозначим длину отрезка AK как x. Тогда по условию AK:KP = 1:3, что означает, что отрезок KP будет равен 3x.

Следовательно, длина полного отрезка AP будет:

\[ AP = AK + KP = x + 3x = 4x. \]

Теперь, используя свойство касательной и секущей, мы знаем, что квадрат длины касательной (AB) равен произведению отрезка секущей (AK) на внешний отрезок (AP):

\[ AB^2 = AK \cdot AP. \]

Подставим известные значения:

\[ 14^2 = x \cdot 4x. \]

Это уравнение упрощается до:

\[ 196 = 4x^2. \]

Теперь решим это уравнение:

\[ x^2 = \frac{196}{4} = 49, \] \[ x = 7. \]

Теперь у нас есть длина отрезка AK:

\[ AK = x = 7. \]

Теперь найдем длину отрезка AP:

\[ AP = 4x = 4 \cdot 7 = 28. \]

Таким образом, длины отрезков составляют:

• Длина отрезка AK = 7.
• Длина отрезка AP = 28.

Ответ: Длина отрезка AK равна 7, длина отрезка AP равна 28.