Маша и Даша изготрвляли фантики и бантики. Работу они начали и закончили одновременно. С начала Маша делала бантики, а Даша фантики, но в какой-то момент они поменялись. Даша и фантики, и бантики делала в 4 раза быстрее Маши. Бантиков они изнотовили поровну, а фанатиков вместе изнотовили 850 штук. Сколько фанатиков изготовила Маша?

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

1. Обозначим скорость Маши по изготовлению бантиков как \( v \), тогда скорость Даши по изготовлению фантиков будет \( 4v \) (так как Даша работает в 4 раза быстрее Маши).

2. Пусть \( t_1 \) — время, в течение которого Маша и Даша работали в своих первоначальных ролях (Маша — бантики, Даша — фантики). Затем они поменялись на \( t_2 \) — время, когда Даша начала делать бантики, а Маша — фантики.

3. За время \( t_1 \) Маша изготавливала бантики:
   \[ B = v \cdot t_1 \] Даша изготавливала фантики:
   \[ F_D = 4v \cdot t_1 \]

4. За время \( t_2 \) Маша изготавливала фантики:
   \[ F_M = 4v \cdot t_2 \] Даша изготавливала бантики:
   \[ B_D = v \cdot t_2 \]

5. Из условия задачи известно, что бантиков они изготовили поровну:
   \[ B = B_D \]

   Это приводит нас к уравнению: \[ v \cdot t_1 = v \cdot t_2 \] Следовательно, \( t_1 = t_2 \) (так как скорость \( v \) не равна нулю).

6. Суммарное количество фантиков, изготовленных обеими, составляет 850 штук:
   \[ F_D + F_M = 850 \] Подставим выражения: \[ 4v \cdot t_1 + 4v \cdot t_1 = 850 \quad \Rightarrow \quad 8v \cdot t_1 = 850 \] Отсюда мы можем найти \( vt_1 \): \[ vt_1 = \frac{850}{8} = 106.25 \]

7. Теперь найдем количество фантиков, изготовленных Машей: \[ F_M = 4v \cdot t_2 = 4v \cdot t_1 = 4 \cdot \frac{850}{8} = \frac{3400}{8} = 425 \]

Итак, Маша изготовила 425 фантиков.