Решите уравнение x^2 + y^2 - 2х - 6у = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х - 3у.

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x - 6y = 0 \) в целых числах, сначала упростим его. Мы можем сделать это, собрав подобные члены и выделив полный квадрат.

1. Перепишем уравнение: \[ x^2 - 2x + y^2 - 6y = 0 \]

2. Выделим полный квадрат для \( x \) и \( y \): \[ (x - 1)^2 - 1 + (y - 3)^2 - 9 = 0 \] Упрощая, получаем: \[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 10 \]

3. Это уравнение описывает окружность с центром в точке \( (1, 3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \). Мы ищем целочисленные решения, находя целочисленные точки, находящиеся на этой окружности.

4. Значения \( (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 10 \) могут принимать следующие целочисленные пары:

   • \( (x - 1, y - 3) = (\pm 1, \pm 3) \)
   • \( (x - 1, y - 3) = (\pm 3, \pm 1) \)
   • \( (x - 1, y - 3) = (\pm \sqrt{10}, \pm \sqrt{10}) \) — это нецелые значения, поэтому их отбрасываем.

Найдем целочисленные решения:

1. \( (x - 1, y - 3) = (1, 3) \) ⇒ \( x = 2, y = 6 \)
2. \( (x - 1, y - 3) = (1, -3) \) ⇒ \( x = 2, y = 0 \)
3. \( (x - 1, y - 3) = (-1, 3) \) ⇒ \( x = 0, y = 6 \)
4. \( (x - 1, y - 3) = (-1, -3) \) ⇒ \( x = 0, y = 0 \)
5. \( (x - 1, y - 3) = (3, 1) \) ⇒ \( x = 4, y = 4 \)
6. \( (x - 1, y - 3) = (3, -1) \) ⇒ \( x = 4, y = 2 \)
7. \( (x - 1, y - 3) = (-3, 1) \) ⇒ \( x = -2, y = 4 \)
8. \( (x - 1, y - 3) = (-3, -1) \) ⇒ \( x = -2, y = 2 \)

Теперь у нас есть следующие целочисленные пары \( (x, y) \):

• \( (2, 6) \)
• \( (2, 0) \)
• \( (0, 6) \)
• \( (0, 0) \)
• \( (4, 4) \)
• \( (4, 2) \)
• \( (-2, 4) \)
• \( (-2, 2) \)

Теперь нам нужно найти наибольшее значение выражения \( x - 3y \) для этих пар:

1. Для \( (2, 6) \): \( 2 - 3 \cdot 6 = 2 - 18 = -16 \)
2. Для \( (2, 0) \): \( 2 - 3 \cdot 0 = 2 - 0 = 2 \)
3. Для \( (0, 6) \): \( 0 - 3 \cdot 6 = 0 - 18 = -18 \)
4. Для \( (0, 0) \): \( 0 - 3 \cdot 0 = 0 - 0 = 0 \)
5. Для \( (4, 4) \): \( 4 - 3 \cdot 4 = 4 - 12 = -8 \)
6. Для \( (4, 2) \): \( 4 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2 \)
7. Для \( (-2, 4) \): \( -2 - 3 \cdot 4 = -2 - 12 = -14 \)
8. Для \( (-2, 2) \): \( -2 - 3 \cdot 2 = -2 - 6 = -8 \)

Наибольшее значение \( x - 3y \) среди всех найденных пар равно \( 2 \).

Таким образом, ответ: наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно \( 2 \).