Бесконечную десятичную дробь 0,1777777... (бесконечное число семёрок) представьте в виде обыкновенной несократимой дроби &. В ответе запишите величину а + b.

Обозначим бесконечную десятичную дробь \( x = 0,1777777... \).

Для удобства записи разделим число на две части: \[ x = 0,1 + 0,0777777... \]

Теперь найдем значение \( 0,0777777... \). Обозначим его как \( y \): \[ y = 0,0777777... \]

Умножим \( y \) на 10, чтобы сдвинуть запятую: \[ 10y = 0,77777... \] Можно заметить, что \( 0,77777... = \frac{7}{9} \). Следовательно, \[ 10y = \frac{7}{9} \]

Теперь выразим \( y \): \[ y = \frac{7}{90} \]

Теперь подставим значение \( y \) обратно в выражение для \( x \): \[ x = 0,1 + 0,0777777... = 0,1 + \frac{7}{90} \]

Запишем \( 0,1 \) в виде дроби: \[ 0,1 = \frac{1}{10} \]

Теперь найдём общий знаменатель для \( \frac{1}{10} \) и \( \frac{7}{90} \), который равен 90. Приведем дробь \( \frac{1}{10} \) к общему знаменателю: \[ \frac{1}{10} = \frac{9}{90} \]

Теперь сложим дроби: \[ x = \frac{9}{90} + \frac{7}{90} = \frac{16}{90} \]

Упростим дробь \( \frac{16}{90} \). Общий делитель \( 16 \) и \( 90 \) равен \( 2 \): \[ \frac{16 \div 2}{90 \div 2} = \frac{8}{45} \]

Теперь \( x = \frac{8}{45} \).

В итоге \( a = 8 \) и \( b = 45 \). Найдем сумму: \[ a + b = 8 + 45 = 53 \]

Ответ: \[ \boxed{53} \]