11. Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР и АК, если АK: KP = 1 :3, AB = 14.

Для решения задачи необходимо использовать свойство касательной и секущей к окружности.

Обозначим длину отрезка \( AK \) как \( x \). Тогда длина отрезка \( KP \) будет \( 3x \) (так как \( AK:KP = 1:3 \)). Таким образом, длина отрезка \( AP \) будет равна:

\[ AP = AK + KP = x + 3x = 4x \]

Согласно теореме о касательной и секущей:

\[ AB^2 = AK \cdot AP \]

Подставим известные значения:

\[ 14^2 = x \cdot 4x \]

Это упростится до:

\[ 196 = 4x^2 \]

Разделим обе стороны на 4:

\[ 49 = x^2 \]

Теперь найдём \( x \):

\[ x = \sqrt{49} = 7 \]

Теперь, зная \( x \), мы можем найти длины отрезков \( AK \) и \( AP \):

\[ AK = x = 7 \]

\[ AP = 4x = 4 \cdot 7 = 28 \]

Итак, длины отрезков:

• Длина отрезка \( AK = 7 \)
• Длина отрезка \( AP = 28 \)

Таким образом, ответ на задачу:

\( AK = 7 \), \( AP = 28 \).