Решите уравнение x^2 + y^2 - 2х - 6у = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х - 3у.

Чтобы решить уравнение \(x^2 + y^2 - 2x - 6y = 0\) в целых числах, начнем с приведения его к более удобному виду. Перепишем его, группируя переменные:

\[ x^2 - 2x + y^2 - 6y = 0 \]

Теперь завершим квадрат для \(x\) и \(y\).

Для \(x^2 - 2x\): \[ x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 \]

Для \(y^2 - 6y\): \[ y^2 - 6y = (y-3)^2 - 9 \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ (x-1)^2 - 1 + (y-3)^2 - 9 = 0 \]

Упрощая, получаем:

\[ (x-1)^2 + (y-3)^2 - 10 = 0 \]

Или

\[ (x-1)^2 + (y-3)^2 = 10 \]

Это уравнение описывает окружность с центром в точке \((1, 3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\). Теперь найдем целочисленные решения \((x, y)\).

Рассмотрим комбинации значений, при которых сумма квадратов целых чисел \(a^2 + b^2 = 10\):

• \(3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10\)
• \(1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10\)
• \(0^2 + \sqrt{10}^2 = 0 + 10 = 10\) (не целое)
• \((-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10\)
• \((-3)^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10\)
• и так далее.

Теперь определим все целые решения \((x, y)\):

1. \( (4, 4) \) (то есть \(x-1=3\) и \(y-3=1\))
2. \( (4, 2) \) (то есть \(x-1=3\) и \(y-3=-1\))
3. \( (2, 4) \) (то есть \(x-1=1\) и \(y-3=1\))
4. \( (2, 2) \) (то есть \(x-1=1\) и \(y-3=-1\))
5. \( (0, 4) \) (то есть \(x-1=-1\) и \(y-3=1\))
6. \( (0, 2) \) (то есть \(x-1=-1\) и \(y-3=-1\))
7. \( (-2, 4) \) (то есть \(x-1=-3\) и \(y-3=1\))
8. \( (-2, 2) \) (то есть \(x-1=-3\) и \(y-3=-1\))

Теперь найдем наибольшее значение выражения \(x - 3y\) для этих решений:

1. \(4 - 3 \times 4 = 4 - 12 = -8\)
2. \(4 - 3 \times 2 = 4 - 6 = -2\)
3. \(2 - 3 \times 4 = 2 - 12 = -10\)
4. \(2 - 3 \times 2 = 2 - 6 = -4\)
5. \(0 - 3 \times 4 = 0 - 12 = -12\)
6. \(0 - 3 \times 2 = 0 - 6 = -6\)
7. \(-2 - 3 \times 4 = -2 - 12 = -14\)
8. \(-2 - 3 \times 2 = -2 - 6 = -8\)

Наибольшее значение из всех полученных равно \(-2\), что происходит при \(x = 4\) и \(y = 2\).

Таким образом, наибольшее значение выражения \(x - 3y\) равно \(-2\).