Сколько существует пар натуральных чисел (х; У), таких, что 3x + 4У= 100?

Для того чтобы найти количество пар натуральных чисел (x, y), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\), сначала выразим \(y\) через \(x\):

\[ 4y = 100 - 3x \] \[ y = \frac{100 - 3x}{4} \]

Теперь необходимо, чтобы \(y\) было натуральным числом, то есть \(100 - 3x\) должно быть положительным и делиться на 4. Это приводит к двум условиям:

1. \(100 - 3x > 0\)
2. \(100 - 3x \equiv 0 \mod{4}\)

Начнем с первого условия:

\[ 100 - 3x > 0 \implies 100 > 3x \implies x < \frac{100}{3} \approx 33.33 \]

Так как \(x\) - натуральное число, мы можем записать:

\[ x \leq 33 \]

Теперь рассмотрим второе условие. Для того чтобы \(100 - 3x\) было divisible на 4, рассмотрим \(100 \mod 4\):

\[ 100 \mod 4 = 0 \]

Поэтому:

\[ 100 - 3x \equiv 0 \mod{4} \implies -3x \equiv 0 \mod{4} \implies 3x \equiv 0 \mod{4} \]

Так как 3 и 4 взаимно просты, то \(x\) должно быть кратным 4, то есть \(x = 4k\) для некоторого натурального числа \(k\).

Теперь подставим \(x = 4k\) в первое неравенство:

\[ 4k \leq 33 \implies k \leq \frac{33}{4} \approx 8.25 \]

Таким образом, \(k\) может принимать значения от 1 до 8 (включительно).

Теперь найдём соответствующие значения \(y\) для каждого \(k\):

Подставляя \(x = 4k\) в уравнение:

\[ y = \frac{100 - 3(4k)}{4} = \frac{100 - 12k}{4} = 25 - 3k \]

Теперь \(y\) также должно быть натуральным числом, поэтому:

\[ 25 - 3k > 0 \implies 25 > 3k \implies k < \frac{25}{3} \approx 8.33 \]

Таким образом, \(k\) может принимать значения от 1 до 8.

Проверим возможные значения для \(k\):

• Для \(k = 1\), \(y = 22\)
• Для \(k = 2\), \(y = 19\)
• Для \(k = 3\), \(y = 16\)
• Для \(k = 4\), \(y = 13\)
• Для \(k = 5\), \(y = 10\)
• Для \(k = 6\), \(y = 7\)
• Для \(k = 7\), \(y = 4\)
• Для \(k = 8\), \(y = 1\)

Итак, каждое значение \(k\) дает уникальную пару \((x, y)\), где \(x = 4k\) и \(y = 25 - 3k\).

Таким образом, общее количество пар натуральных чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\), равно 8.