Найдите сумму натуральных значений переменной х, удовлетворяющих неравенству 5|2|x-5|-x-2|=7x.
Чтобы найти сумму натуральных значений переменной \( x \), удовлетворяющих данному неравенству \( 5|2|x-5|-x-2|=7x \), начнем с упрощения самой задачи.
Разберем внутренний модуль \( |x-5| \):
- Если \( x \geq 5 \), то \( |x-5| = x-5 \).
- Если \( x < 5 \), то \( |x-5| = 5-x \).
Подставим это в выражение: \[ |2|x-5|-x-2| = |2(x-5)-x-2| \quad \text{(если } x \geq 5\text{)} \] Теперь у нас будет: \[ 2(x-5) - x - 2 = 2x - 10 - x - 2 = x - 12 \quad \text{(если } x \geq 5\text{)} \] \[ |2(5-x)-x-2| = |10 - 2x - 2| = |8 - 2x| \quad \text{(если } x < 5\text{)} \]
Теперь необходимо рассмотреть оба случая:
Случай 1: \( x \geq 5 \)
\[ 5|x - 12| = 7x \]
- Есть два подслучая:
Подслучай 1а: \( x - 12 \geq 0 \) (то есть \( x \geq 12 \)): \[ 5(x - 12) = 7x \Rightarrow 5x - 60 = 7x \Rightarrow 60 = 2x \Rightarrow x = 30 \]
Подслучай 1б: \( x - 12 < 0 \) (то есть \( x < 12 \)): \[ 5(12 - x) = 7x \Rightarrow 60 - 5x = 7x \Rightarrow 60 = 12x \Rightarrow x = 5 \]
Случай 2: \( x < 5 \)
\[ 5|8 - 2x| = 7x \]
- Есть два подслучая:
Подслучай 2а: \( 8 - 2x \geq 0 \) (то есть \( x \leq 4 \)): \[ 5(8 - 2x) = 7x \Rightarrow 40 - 10x = 7x \Rightarrow 40 = 17x \Rightarrow x = \frac{40}{17} \approx 2.35 \quad \text{(натуральное значение } 2\text{)} \]
Подслучай 2б: \( 8 - 2x < 0 \) (то есть \( x > 4 \)): \[ 5(2x - 8) = 7x \Rightarrow 10x - 40 = 7x \Rightarrow 3x = 40 \Rightarrow x = \frac{40}{3} \approx 13.33 \quad \text{(не подходит под } x < 5\text{)} \]
Собираем натуральные решения:
- Из случаев 1 и 2:
- \( x = 30 \) (натуральное число)
- \( x = 5 \) (натуральное число)
- \( x = 2 \) (натуральное число)
Таким образом, натуральные значения: \( 2, 5, 30 \).
Найдем их сумму:
\[ 2 + 5 + 30 = 37 \]
Ответ:
Сумма натуральных значений переменной \( x \), удовлетворяющих неравенству, равна \( \boxed{37} \).
