Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 даёт в остатке 1, а при делении на 9 даёт в остатке 3.
Обозначим искомое натуральное число как \( x \). Система условий будет записана в виде:
\[ x \equiv 1 \mod{7} \] \[ x \equiv 3 \mod{9} \]
Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки и рассмотрим первое условие:
\[ x = 7k + 1 \text{ для некоторого целого } k. \]
Теперь подставим это выражение во второе условие:
\[ 7k + 1 \equiv 3 \mod{9}. \]
Упростим это уравнение:
\[ 7k \equiv 3 - 1 \mod{9} \] \[ 7k \equiv 2 \mod{9}. \]
Теперь найдём обратное к 7 по модулю 9. Для этого нужно решить уравнение:
\[ 7m \equiv 1 \mod{9}. \]
Перебираем значения \( m \):
- \( m = 1 \): \( 7 \cdot 1 = 7 \equiv 7 \mod{9} \)
- \( m = 2 \): \( 7 \cdot 2 = 14 \equiv 5 \mod{9} \)
- \( m = 3 \): \( 7 \cdot 3 = 21 \equiv 3 \mod{9} \)
- \( m = 4 \): \( 7 \cdot 4 = 28 \equiv 1 \mod{9} \)
Мы нашли, что обратное к 7 по модулю 9 - это 4. Умножим обе стороны уравнения \( 7k \equiv 2 \mod{9} \) на 4:
\[ k \equiv 8 \mod{9}. \]
Таким образом, можно записать \( k \) в следующем виде:
\[ k = 9m + 8 \text{ для некоторого целого } m. \]
Подставим это значение \( k \) обратно в выражение для \( x \):
\[ x = 7(9m + 8) + 1 = 63m + 56 + 1 = 63m + 57. \]
Теперь найдем наименьшее натуральное число \( x \). Для \( m = 0 \):
\[ x = 57. \]
Для \( m = 1 \):
\[ x = 63 + 57 = 120. \]
Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее обоим условиям, равно 57. Проверим оба условия:
- \( 57 \div 7 = 8 \) остаток 1.
- \( 57 \div 9 = 6 \) остаток 3.
Оба условия выполняются. Таким образом, ответ:
\[ \boxed{57}. \]
