Найдите два трёхзначных числа, сумма которых кратна 486, а частное кратно 8. В ответ запишите большее из этих трёхзначных чисел.
Чтобы решить задачу, давайте сначала обозначим два трёхзначных числа как \( x \) и \( y \). Условие говорит, что сумма этих чисел кратна 486, а их частное кратно 8. Это можно записать следующим образом:
- \( x + y \equiv 0 \mod{486} \)
- \( \frac{x}{y} \equiv 0 \mod{8} \) (то есть, \( x \) кратно 8, если \( y \) не равно 0)
Так как \( x \) и \( y \) — трёхзначные числа, они могут принимать значения от 100 до 999.
Для начала доказуем, что сумма \( x + y \) кратна 486. Поскольку 486 не является слишком большим числом, будем проверять, как оно относится к трёхзначным числами. Обратим внимание на возможные значения:
Сумма двух трёхзначных чисел может варьироваться от:
- Минимум: \( 100 + 100 = 200 \)
- Максимум: \( 999 + 999 = 1998 \)
Теперь найдем, какие кратные 486 находятся в этом диапазоне. Кратные 486 в этом диапазоне — это 486 и 972.
Теперь рассмотрим каждый из случаев:
Случай 1: \( x + y = 972 \)
- Предположим, что \( x = 8k \) для некоторого целого \( k \) (поскольку \( x \) кратно 8).
- Тогда можно выразить \( y \): \( y = 972 - x \).
- Поскольку \( x + y = 972 \), подставим \( y \) вместо \( 972 - x \):
\[ x + (972 - x) = 972 \]
Поскольку \( x \) кратно 8, можем взять \( x \) в форме \( 8k \).
Теперь, чтобы найти подходящее трёхзначное значение для \( x \) и соответствующие ему значения для \( k \):
Проверим значения кратные 8, начиная с 100:
- Первое трёхзначное число, кратное 8, это 104, затем 112, 120 и так далее, пока не дойдём до количества, при котором сумма не превысит 972.
Числа \( x = 488 \) и \( y = 484 \):
- Эти числа наполняют условия: \( 488 + 484 = 972 \) и \( \frac{488}{484} \) также кратно 8.
В итоге, Большое трёхзначное число: \( 488 \)
Это и есть наш ответ.
