Реши
Привет! Давай решим это уравнение вместе.
У нас есть уравнение:
x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0
Надо найти наибольшее значение выражения x - 3y.
Шаги решения:
Перепишем уравнение, чтобы выделить полные квадраты:
- Для x: x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
- Для y: y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9
Значит, уравнение становится: (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0
Упростим уравнение:
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10
Это уравнение окружности с центром (1, -3) и радиусом корень из 10.
Найдем наибольшее значение x - 3y:
Представим это как векторное произведение и параметризуем окружность, используя тригонометрическую форму:
- x = 1 + √10 * cos(t)
- y = -3 + √10 * sin(t)
Подставим в выражение: x - 3y = (1 + √10 * cos(t)) - 3(-3 + √10 * sin(t))
= 1 + √10 * cos(t) + 9 - 3√10 * sin(t) = 10 + √10 * (cos(t) - 3sin(t))
Максимум этого выражения достигается, когда косинусное и синусное слагаемые максимальны.
Максимизация:
Выражение cos(t) - 3sin(t) можно выразить как R*cos(θ - φ), где R = √(1 + 9), φ угол с тангенсом равным 3. Максимальное значение R равно √10.
Наибольшее значение всего выражения:
10 + (√10 * √10) = 10 + 10 = 20
Итак, максимальное значение x - 3y равно 20. Надеюсь, это помогло! Если что-то непонятно, дай знать!
