решите неравенство 4/x <_4-x в ответ запишите сумму целых решений неравенства пренадлежащих промежутку [-6;6]
Для решения неравенства \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \) нужно сначала сделать его более удобным для анализа.
- Приведем неравенство к общему знаменателю. Умножим обе стороны на \( x \) (при условии, что \( x \neq 0 \)), что даст нам два случая: когда \( x > 0 \) и \( x < 0 \).
Случай 1: \( x > 0 \)
Умножаем на \( x \): \[ 4 \leq (4 - x)x \] Раскрываем скобки: \[ 4 \leq 4x - x^2 \] Переносим все в одну сторону: \[ x^2 - 4x + 4 \leq 0 \] Заметим, что это квадратное неравенство: \[ (x - 2)^2 \leq 0 \] Решение этого неравенства показывает, что \( x - 2 = 0 \), то есть \( x = 2 \).
Случай 2: \( x < 0 \)
Умножаем на \( x \) (учитываем знак): \[ 4 \geq (4 - x)x \] Раскрываем скобки: \[ 4 \geq 4x - x^2 \] Переносим все в одну сторону: \[ x^2 - 4x + 4 \geq 0 \] Это выражение также является квадратом: \[ (x - 2)^2 \geq 0 \] Квадрат всегда неотрицателен, следовательно, это верно для всех \( x \).
Теперь объединим результаты:
- Для \( x > 0 \): единственное решение \( x = 2 \).
- Для \( x < 0 \): все \( x < 0 \) подходят.
Теперь нам нужно найти целые решения в промежутке \([-6; 6]\). Решение при \( x < 0 \) включает целые значения: \(-6, -5, -4, -3, -2, -1\). Кроме того, мы имеем \( x = 2 \).
Таким образом, целые решения неравенства: \(-6, -5, -4, -3, -2, -1, 2\).
Теперь подсчитаем сумму: \[ -6 + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 2 = -6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 + 2 = -19 \]
Итак, сумма целых решений неравенства, принадлежащих промежутку \([-6; 6]\), равна \(-19\).
