11. Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР и АК, если…

Чтобы решить задачу, давайте воспользуемся свойствами касательных и секущих.

Из точки \( A \) проведена касательная \( AB \) и секущая \( AK \), которая пересекает окружность в точках \( K \) и \( P \). По условию \( AK : KP = 1 : 3 \). Если обозначить длину отрезка \( AK = x \), тогда длина отрезка \( KP \) будет равна \( 3x \).

Длина отрезка \( AP \), которая является суммой отрезков \( AK \) и \( KP \), будет равна:

\[ AP = AK + KP = x + 3x = 4x \]

Теперь, по свойству секущей и касательной, известно, что квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на отрезок, который находится за точкой касания:

\[ AB^2 = AK \cdot AP \]

Подставляем известные значения:

\[ 14^2 = x \cdot 4x \]

Это дает:

\[ 196 = 4x^2 \]

Разделим обе стороны на 4:

\[ 49 = x^2 \]

Теперь извлекаем квадратный корень:

\[ x = 7 \]

Теперь найдем длину отрезка \( AK \):

\[ AK = x = 7 \]

А длина отрезка \( AP \):

\[ AP = 4x = 4 \cdot 7 = 28 \]

Таким образом, длины отрезков \( AK \) и \( AP \) равны:

\[ AK = 7, \quad AP = 28 \]

Ответ: \( AK = 7 \), \( AP = 28 \).