Монету бросают 5 раз. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 4 раза?

Для решения задачи о вероятности выпадения 4 орлов при 5 бросках монеты, воспользуемся формулой биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 5),
• \( k \) — количество успехов (в нашем случае 4),
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (для орла это \( 0.5 \)),
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, вычисляемый по формуле \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Теперь подставим значения:

1. \( n = 5 \)
2. \( k = 4 \)
3. \( p = 0.5 \)

Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(5, 4) \):

\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot (5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{5-4} = 5 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^1 = 5 \cdot (0.5)^5 \]

Теперь вычислим \( (0.5)^5 \):

\[ (0.5)^5 = \frac{1}{32} \]

Поэтому:

\[ P(X = 4) = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32} \]

Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет ровно 4 раза при 5 бросках монеты равна \( \frac{5}{32} \) или примерно 0.15625.