Реши уравнение x²+y²-2x+6y=0 в целых числах. В ОТВЕТЕ УКАЖИТЕ наибольшее значение выражение x-3y

Для того чтобы решить уравнение \(x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0\) в целых числах, начнем с приведения его к более удобному виду.

Сначала упростим уравнение. Мы можем сгруппировать его так, чтобы выделить полные квадраты:

\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]

Теперь преобразуем каждую часть:

1. Для \(x^2 - 2x\) добавим и вычтем 1: \((x-1)^2 - 1\).
2. Для \(y^2 + 6y\) добавим и вычтем 9: \((y+3)^2 - 9\).

Подставляя эти выражения в уравнение, получаем:

\[ (x-1)^2 - 1 + (y+3)^2 - 9 = 0 \]

Упрощаем это:

\[ (x-1)^2 + (y+3)^2 - 10 = 0 \]

Переносим 10 в правую часть:

\[ (x-1)^2 + (y+3)^2 = 10 \]

Теперь мы ищем целые числа \(x\) и \(y\), такие что сумма квадратов равна 10. Мы можем перечислить возможные пары \((a, b)\), где \(a^2 + b^2 = 10\):

1. \(0^2 + \sqrt{10}^2\) (нецелое)
2. \(1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10\)
3. \(3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10\)
4. \(-1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10\)
5. \(-3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10\)

Таким образом, возможные пары \((a, b)\) будут:

• \((1, 3)\)
• \((3, 1)\)
• \((-1, 3)\)
• \((-3, 1)\)
• \((1, -3)\)
• \((3, -1)\)
• \((-1, -3)\)
• \((-3, -1)\)

Теперь вычислим соответствующие значения \(x\) и \(y\):

1. Для \((1, 3)\): \(x = 1 + 1 = 2\), \(y = 3 - 3 = 0\) \(\Rightarrow x - 3y = 2 - 0 = 2\)
2. Для \((3, 1)\): \(x = 3 + 1 = 4\), \(y = 1 - 3 = -2\) \(\Rightarrow x - 3y = 4 - (-6) = 10\)
3. Для \((-1, 3)\): \(x = -1 + 1 = 0\), \(y = 3 - 3 = 0\) \(\Rightarrow x - 3y = 0 - 0 = 0\)
4. Для \((-3, 1)\): \(x = -3 + 1 = -2\), \(y = 1 - 3 = -2\) \(\Rightarrow x - 3y = -2 + 6 = 4\)
5. Для \((1, -3)\): \(x = 1 + 1 = 2\), \(y = -3 - 3= -6\) \(\Rightarrow x - 3y = 2 + 18 = 20\)
6. Для \((3, -1)\): \(x = 3 + 1 = 4\), \(y = -1 - 3 = -4\) \(\Rightarrow x - 3y = 4 + 12 = 16\)
7. Для \((-1, -3)\): \(x = -1 + 1 = 0\), \(y = -3 - 3 = -6\) \(\Rightarrow x - 3y = 0 + 18 = 18\)
8. Для \((-3, -1)\): \(x = -3 + 1 = -2\), \(y = -1 - 3 = -4\) \(\Rightarrow x - 3y = -2 + 12 = 10\)

Подводим итоги: максимальные значения \(x - 3y\) из всех перечисленных вычислений:

• \(2, 10, 0, 4, 20, 16, 18, 10\)

Наибольшее значение состоит из вычислений:

\(\boxed{20}\).