Изобрази на координатной прямой и реши уравнение 3х^2-75>=0

Для решения неравенства \(3x^2 - 75 \geq 0\) начнем с преобразования его в более удобную форму.

1. Упростим неравенство: \[ 3x^2 - 75 \geq 0 \]

   Разделим обе стороны на 3: \[ x^2 - 25 \geq 0 \]

2. Запишем это неравенство в виде разности квадратов: \[ (x - 5)(x + 5) \geq 0 \]

Теперь найдем корни уравнения \( (x - 5)(x + 5) = 0 \):

• \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
• \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)

Таким образом, корни неравенства: \(x = -5\) и \(x = 5\).

Теперь определим промежутки для анализа знака произведения \((x - 5)(x + 5)\):

• \((- \infty, -5)\)
• \((-5, 5)\)
• \((5, + \infty)\)

Теперь протестируем знаки в каждом из промежутков:

1. Для \(x < -5\) (например, \(x = -6\)): \[ (-6 - 5)(-6 + 5) = (-11)(-1) > 0 \]

2. Для \(-5 < x < 5\) (например, \(x = 0\)): \[ (0 - 5)(0 + 5) = (-5)(5) < 0 \]

3. Для \(x > 5\) (например, \(x = 6\)): \[ (6 - 5)(6 + 5) = (1)(11) > 0 \]

Теперь мы можем написать решение неравенства:

\[ (x - 5)(x + 5) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty) \]

Таким образом, неравенство выполнено на промежутках:

• \(x \leq -5\)
• \(x \geq 5\)

На координатной прямой решение можно изобразить следующим образом:

• Нарисовать точки \(-5\) и \(5\) и закрасить их (так как включаем равенство).
• Затем закрасить все области налево от \(-5\) и направо от \(5\).

Это изображение будет соответствовать решению неравенства \(3x^2 - 75 \geq 0\).