Изобрази на координатной прямой и реши уравнение 3х^2-75>=0

Давайте решим неравенство \(3x^2 - 75 \geq 0\).

Сначала преобразим его:

1. Переносим 75 на другую сторону:

\[ 3x^2 \geq 75 \]

2. Делим обе стороны на 3 (п since 3 > 0, знак неравенства не изменится):

\[ x^2 \geq 25 \]

3. Теперь находим корни уравнения \(x^2 - 25 = 0\):

\[ x^2 = 25 \]

4. Извлекаем корни:

\[ x = \pm 5 \]

Теперь у нас есть два корня: \(x = 5\) и \(x = -5\). Это делит координатную прямую на три интервала:

• \( (-\infty, -5) \)
• \( [-5, 5] \)
• \( (5, +\infty) \)

Теперь будем проверять знак неравенства \(x^2 - 25 \geq 0\) на каждом интервале:

1. Первый интервал: \(x < -5\) (например, \(x = -6\)) \[ (-6)^2 - 25 = 36 - 25 = 11 \geq 0 \] Неравенство выполняется.

2. Второй интервал: \(-5 \leq x \leq 5\) (например, \(x = 0\)) \[ 0^2 - 25 = 0 - 25 = -25 < 0 \] Неравенство не выполняется.

3. Третий интервал: \(x > 5\) (например, \(x = 6\)) \[ 6^2 - 25 = 36 - 25 = 11 \geq 0 \] Неравенство выполняется.

Таким образом, неравенство \(3x^2 - 75 \geq 0\) выполняется при:

\[ x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty) \]

На координатной прямой это можно изобразить следующим образом:

• Точка \(-5\) закрашенная (включена в решение)
• Точка \(5\) закрашенная (включена в решение)
• Все значения слева от \(-5\) и вправо от \(5\) также закрашены, а промежуток \((-5, 5)\) остается не закрашенным.

Таким образом, графически это будет выглядеть так:

<----[-5]=========[5]---->

Где знак "=" указывает на включение границ.