Сколько существует пар натуральных чисел (x; y), таких, что 3х+4у = 100?
Чтобы найти количество пар натуральных чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\), можно выразить \(y\) через \(x\):
\[ 4y = 100 - 3x \] \[ y = \frac{100 - 3x}{4} \]
Поскольку \(y\) должно быть натуральным числом, выражение \(100 - 3x\) должно быть делимо на 4 и больше нуля:
Условие делимости на 4: Мы проверим, при каких \(x\) \(100 - 3x \equiv 0 \pmod{4}\). Сначала найдем \(100 \mod 4\):
\[ 100 \div 4 = 25 \quad \Rightarrow \quad 100 \equiv 0 \pmod{4} \]
Теперь найдём \(3x \mod 4\):
\[ 3x \equiv 0 \pmod{4} \quad \Rightarrow \quad x \equiv 0 \pmod{4} \text{ or } x \equiv 0 \pmod{4} \] Таким образом \(x\) должно быть кратно 4.
Нахождение значений \(x\): Пусть \(x = 4k\), где \(k\) — натуральное число. Подставляем \(x\) в уравнение:
\[ 3(4k) + 4y = 100 \] \[ 12k + 4y = 100 \] \[ 4y = 100 - 12k \] \[ y = 25 - 3k \]
Теперь \(y\) также должно быть натуральным числом, что означает:
\[ 25 - 3k > 0 \quad \Rightarrow \quad 25 > 3k \quad \Rightarrow \quad k < \frac{25}{3} \quad \Rightarrow \quad k < 8.333 \]
Таким образом, возможные натуральные значения \(k\) находятся в диапазоне:
\[ k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \]
Это даёт всего 8 возможных значений \(k\).
Таким образом, существуют 8 пар натуральных чисел \((x, y)\), которые удовлетворяют уравнению \(3x + 4y = 100\).
