1) (2х+1)²*(х-4х+3)>0 2) (2х²+5х-3)*(2х²-5х+2)≤0 3) (х²*(х+5))/((2-х)*(х+5))≥0

Конечно! Давайте разберемся с каждым неравенством по порядку.

1) \((2x + 1)^2 \cdot (x - 4x + 3) > 0\)

Для начала упростим выражение:

• \(x - 4x + 3 = -3x + 3 = 3 - 3x\).
• Таким образом, неравенство можно переписать как \((2x + 1)^2 \cdot (3 - 3x) > 0\).

Теперь анализируем каждую часть:

• \((2x + 1)^2\): Этот множитель всегда неотрицательный, так как это квадрат. Он равен нулю только при \(x = -\frac{1}{2}\).

• \(3 - 3x > 0\) дает \(3 > 3x\) или \(x < 1\).

Таким образом, неравенство выполняется при двух условиях:

1. \(x < 1\)
2. \(x \neq -\frac{1}{2}\) (так как в этом случае будет 0).

Итак, решение: \(x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 1)\).

2) \((2x^2 + 5x - 3) \cdot (2x^2 - 5x + 2) \leq 0\)

Для этого неравенства необходимо найти корни каждого из квадратных многчленов.

1. Первый множитель: \(2x^2 + 5x - 3\)

   • Используем формулу корней: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).
   • \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = -3\): \(D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\),
   • Корни: \(x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = -3\).

2. Второй множитель: \(2x^2 - 5x + 2\)

   • \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 2\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\),
   • Корни: \(x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2\) и \(x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\).

Теперь корни: \(-3\), \(\frac{1}{2}\) и \(2\).

Чтобы найти знак произведения этих множителей, можно разместить корни на числовой прямой и протестировать интервалы:

1. Интервалы: \((- \infty, -3)\), \((-3, \frac{1}{2})\), \((\frac{1}{2}, 2)\), \((2, +\infty)\).
2. Проверяем знак на каждом интервале.

• Для \(x < -3\) (например, \(x = -4\)): положительно.
• Для \(-3 < x < \frac{1}{2}\) (например, \(x = 0\)): отрицательно.
• Для \(\frac{1}{2} < x < 2\) (например, \(x = 1\)): положительно.
• Для \(x > 2\) (например, \(x = 3\)): положительно.

Итак, неравенство выполнено на интервалах: \([-3, \frac{1}{2}] \cup [2, +\infty)\).

3) \(\frac{x^2 \cdot (x + 5)}{(2 - x) \cdot (x + 5)} \geq 0\)

Сначала упростим выражение, отметив, что \(x + 5\) нельзя делить на ноль (то есть \(x \neq -5\)).

Неравенство может быть записано как: \(\frac{x^2}{2 - x} \geq 0\) при \(x \neq -5\).

Теперь определим знаки:

• Числитель \(x^2 \geq 0\) и равен нулю при \(x = 0\).
• Знаменатель \(2 - x > 0\) дает \(x < 2\), и равен нулю при \(x = 2\).

Проверим знаки:

1. Для \(x < 0\): \(x^2 > 0\) и \(2 - x > 0\) ⇒ положительно.
2. Для \(0 < x < 2\): \(x^2 > 0\) и \(2 - x > 0\) ⇒ положительно.
3. Для \(x = 0\): равно нулю (входит в решение).
4. Для \(x = 2\): деление на ноль (не входит).
5. Для \(x > 2\): \(x^2 > 0\) и \(2 - x < 0\) ⇒ отрицательно.

Итак, неравенство выполняется при \(x \in (-\infty, 0] \cup (0, 2)\) и \(x \neq -5\).

Резюме:

1. \(x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 1)\)
2. \(x \in [-3, \frac{1}{2}] \cup [2, +\infty)\)
3. \(x \in (-\infty, 0] \cup (0, 2)\), \(x \neq -5\)

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!