Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше ее числителя. Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на 1\6. Найдите эту дробь.

Question 1

Задача Задача №2386200

А

Аноним

01 декабря 2024 14:55 · публичный вопрос

А

Аноним 01 декабря 2024 14:55

Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше ее числителя. Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на 1\6. Найдите эту дробь.

Answer

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим числитель дроби как \( x \). Тогда по условию задачи знаменатель будет равен \( x + 6 \).

Запишем дробь: \[ \frac{x}{x + 6} \]

Согласно условию, если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на \( \frac{1}{6} \). Это можно записать в виде уравнения: \[ \frac{x - 2}{(x + 6) + 2} = \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} \]

Упростим знаменатель в левой части уравнения: \[ \frac{x - 2}{x + 8} = \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} \]

Теперь уравнение можно решить. Сначала упростим правую часть. Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} = \frac{6x - (x + 6)}{6(x + 6)} = \frac{5x - 6}{6(x + 6)} \]

Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{x - 2}{x + 8} = \frac{5x - 6}{6(x + 6)} \]

Перемножим крест-накрест: \[ 6(x - 2)(x + 6) = (5x - 6)(x + 8) \]

Раскроем скобки: \[ 6(x^2 + 6x - 2x - 12) = 5x^2 + 40x - 6x - 48 \] \[ 6(x^2 + 4x - 12) = 5x^2 + 34x - 48 \] \[ 6x^2 + 24x - 72 = 5x^2 + 34x - 48 \]

Теперь перенесём все в одну сторону: \[ 6x^2 + 24x - 72 - 5x^2 - 34x + 48 = 0 \] \[ x^2 - 10x - 24 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 \]

Так как дискриминант положителен, у нас две задачи: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{10 \pm 14}{2} \]

Решаем:

\( x = \frac{24}{2} = 12 \)
\( x = \frac{-4}{2} = -2 \) (не подходит, так как числитель дроби не может быть отрицательным)

Таким образом, числитель \( x = 12 \). Теперь мы можем найти знаменатель: \[ x + 6 = 12 + 6 = 18 \]

Итак, дробь равна: \[ \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \]

Проверим условия задачи по этой дроби. Если из числителя вычесть 2, будет \( 12 - 2 = 10 \), а к знаменателю прибавим 2, будет \( 18 + 2 = 20 \). Новая дробь: \[ \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \]

Сравним с оригинальной дробью: \[ \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Условие выполняется.

Ответ: дробь \( \frac{2}{3} \).

Question 2

Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше ее числителя. Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на 1\6. Найдите эту дробь.

Answer

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Обозначим числитель дроби как \( x \). Тогда по условию задачи знаменатель будет равен \( x + 6 \). Запишем дробь: \[ \frac{x}{x + 6} \] Согласно условию, если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на \( \frac{1}{6} \). Это можно записать в виде уравнения: \[ \frac{x - 2}{(x + 6) + 2} = \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} \] Упростим знаменатель в левой части уравнения: \[ \frac{x - 2}{x + 8} = \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} \] Теперь уравнение можно решить. Сначала упростим правую часть. Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} = \frac{6x - (x + 6)}{6(x + 6)} = \frac{5x - 6}{6(x + 6)} \] Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{x - 2}{x + 8} = \frac{5x - 6}{6(x + 6)} \] Перемножим крест-накрест: \[ 6(x - 2)(x + 6) = (5x - 6)(x + 8) \] Раскроем скобки: \[ 6(x^2 + 6x - 2x - 12) = 5x^2 + 40x - 6x - 48 \] \[ 6(x^2 + 4x - 12) = 5x^2 + 34x - 48 \] \[ 6x^2 + 24x - 72 = 5x^2 + 34x - 48 \] Теперь перенесём все в одну сторону: \[ 6x^2 + 24x - 72 - 5x^2 - 34x + 48 = 0 \] \[ x^2 - 10x - 24 = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 \] Так как дискриминант положителен, у нас две задачи: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{10 \pm 14}{2} \] Решаем: 1. \( x = \frac{24}{2} = 12 \) 2. \( x = \frac{-4}{2} = -2 \) (не подходит, так как числитель дроби не может быть отрицательным) Таким образом, числитель \( x = 12 \). Теперь мы можем найти знаменатель: \[ x + 6 = 12 + 6 = 18 \] Итак, дробь равна: \[ \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \] Проверим условия задачи по этой дроби. Если из числителя вычесть 2, будет \( 12 - 2 = 10 \), а к знаменателю прибавим 2, будет \( 18 + 2 = 20 \). Новая дробь: \[ \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \] Сравним с оригинальной дробью: \[ \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Условие выполняется. Ответ: дробь \( \frac{2}{3} \).