Решите уравнение. x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x - 3y

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах, сначала преобразуем его.

Преобразуем уравнение к более удобному виду. Мы можем сгруппировать члены следующим образом:

\[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) = 0 \]

Теперь завершаем квадрат для переменной \( x \) и \( y \).

Для \( x \):

\[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

Для \( y \):

\[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Таким образом, уравнение можно переписать как:

\[ ((x - 1)^2 - 1) + ((y + 3)^2 - 9) = 0 \implies (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Это уравнение описывает круг с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \). Поскольку нам нужно найти целочисленные решения, мы ищем такие целые числа \( x \) и \( y \), которые удовлетворяют этому уравнению.

Теперь вычислим целые точки на окружности.

Поскольку радиус \(\sqrt{10}\) не является целым числом, будем искать целочисленные решения, которые могут быть вблизи этого радиуса. Вычислим \( (x-1)^2 + (y+3)^2 = 10 \) для целых \( x \) и \( y \):

1. \( (0, -3) \)
2. \( (1, -4) \)
3. \( (1, -2) \)
4. \( (3, -3) \)
5. \( (-1, -3) \)
6. \( (1, -5) \)
7. \( (1, -1) \)

Теперь, у нас есть несколько целочисленных решений. На следующем этапе мы можем подсчитать значение выражения \( x - 3y \):

1. Для \( (0, -3) \): \[ 0 - 3(-3) = 9 \]
2. Для \( (1, -4) \): \[ 1 - 3(-4) = 13 \]
3. Для \( (1, -2) \): \[ 1 - 3(-2) = 7 \]
4. Для \( (3, -3) \): \[ 3 - 3(-3) = 12 \]
5. Для \( (-1, -3) \): \[ -1 - 3(-3) = 8 \]
6. Для \( (1, -5) \): \[ 1 - 3(-5) = 16 \]
7. Для \( (1, -1) \): \[ 1 - 3(-1) = 4 \]

Теперь найдем наибольшее значение выражения \( x - 3y \) среди всех результатов:

Наибольшее значение — это \( 16\), которое достигнуто при \( (1, -5) \).

Таким образом, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно \( 16 \).