Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше ее числителя. Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на 1\6. Найдите эту дробь сделать таблицей: было, стало

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Нам нужно найти обыкновенную дробь, где знаменатель на 6 больше, чем числитель, и которая меняется при определённых операциях.

Обозначим числитель дроби как \( x \). Тогда знаменатель можно выразить как \( x + 6 \). Таким образом, дробь будет выглядеть как:

\[ \frac{x}{x + 6} \]

Теперь условия задачи гласят, что если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на \( \frac{1}{6} \). То есть, мы можем записать уравнение:

\[ \frac{x - 2}{(x + 6) + 2} = \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} \]

Упрощая знаменатель, получим:

\[ \frac{x - 2}{x + 8} = \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} \]

Теперь нужно упростить правую часть уравнения. Найдем общий знаменатель для двух дробей на правой стороне:

\[ \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} = \frac{6x - (x + 6)}{6(x + 6)} = \frac{6x - x - 6}{6(x + 6)} = \frac{5x - 6}{6(x + 6)} \]

Теперь мы можем приравнять две дроби:

\[ \frac{x - 2}{x + 8} = \frac{5x - 6}{6(x + 6)} \]

Теперь мы выполните перекрестное умножение для решения уравнения:

\[ 6(x - 2)(x + 6) = (5x - 6)(x + 8) \]

Раскроем скобки:

1. Левая часть: \[ 6(x^2 + 6x - 2x - 12) = 6(x^2 + 4x - 12) = 6x^2 + 24x - 72 \]

2. Правая часть: \[ (5x^2 + 40x - 6x - 48) = 5x^2 + 34x - 48 \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ 6x^2 + 24x - 72 = 5x^2 + 34x - 48 \]

Переносим все члены в одну сторону:

\[ 6x^2 - 5x^2 + 24x - 34x - 72 + 48 = 0 \]

Это упрощается до:

\[ x^2 - 10x - 24 = 0 \]

Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{10 \pm 14}{2} \]

Таким образом, корни:

1. \( x = \frac{24}{2} = 12 \)
2. \( x = \frac{-4}{2} = -2 \) (не подходим, поскольку числитель дроби должен быть положительным)

Таким образом, \( x = 12 \).

Теперь находим знаменатель:

\[ x + 6 = 12 + 6 = 18 \]

Итак, дробь, которую мы искали, равна:

\[ \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \quad (\text{после сокращения}) \]

Теперь составим таблицу "было, стало":

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Действие} & \text{Было} & \text{Стало} \\ \hline \text{Числитель} & 12 & 12 - 2 = 10 \\ \hline \text{Знаменатель} & 18 & 18 + 2 = 20 \\ \hline \text{Дробь} & \frac{12}{18} & \frac{10}{20} \\ \hline \end{array} \]

Проверим, уменьшилась ли дробь на \( \frac{1}{6} \):

\[ \frac{12}{18} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

И действительно, \(\frac{10}{20} = \frac{1}{2}\).

Так что искомая дробь – \( \frac{2}{3} \).