Сколько различных решений имеет система уравнений (x+y)(x-3y+1)(x-y) = 0, (2у-х-1)(x+y-4)y=0

Чтобы найти количество различных решений системы уравнений

\[ (x+y)(x-3y+1)(x-y) = 0, \] \[ (2y-x-1)(x+y-4)y = 0, \]

начнем с решения каждого уравнения по отдельности.

Первое уравнение имеет три множителя:

1. \(x + y = 0\)
2. \(x - 3y + 1 = 0\)
3. \(x - y = 0\)

Рассмотрим каждое из равенств:

1. \(x + y = 0\): отсюда \(y = -x\).
2. \(x - 3y + 1 = 0\): отсюда \(x = 3y - 1\).
3. \(x - y = 0\): отсюда \(x = y\).

Теперь подставим каждое из решений \(y\) (из первого и третьего уравнения) во второе уравнение и проверим, сколько пар \((x, y)\) соответствует каждому из случаев.

Теперь рассмотрим второе уравнение, состоящее из трех множителей:

1. \(2y - x - 1 = 0\): отсюда \(x = 2y - 1\).
2. \(x + y - 4 = 0\): отсюда \(x = 4 - y\).
3. \(y = 0\).

Решения системы \( (2y - x - 1 = 0) \) и \( (x + y - 4 = 0) \) можно найти, приравняв:

1. Подставим \(x = 2y - 1\) в уравнение \(x + y - 4 = 0\):

   \[ 2y - 1 + y - 4 = 0 \implies 3y - 5 = 0 \implies y = \frac{5}{3} \implies x = 2 \cdot \frac{5}{3} - 1 = \frac{10}{3} - 1 = \frac{7}{3}. \]

2. Подставим \(x = 4 - y\) в уравнение \(2y - x - 1 = 0\):

   \[ 2y - (4 - y) - 1 = 0 \implies 3y - 5 = 0 \implies y = \frac{5}{3} \implies x = 4 - \frac{5}{3} = \frac{12}{3} - \frac{5}{3} = \frac{7}{3}. \]

Так мы нашли одно ненулевое решение \(\left(\frac{7}{3}, \frac{5}{3}\right)\).

3. Дальше рассмотрим случай \(y = 0\):

   Это приводит к \(x + 0 = 4\) из второго уравнения, следовательно, \(x = 4\).

Теперь у нас есть два решения:

1. \((4, 0)\)
2. \(\left(\frac{7}{3}, \frac{5}{3}\right)\)

Когда мы рассматриваем \(x = -y\) из первого уравнения, и подставляем в \(x + y - 4 = 0\), мы получаем:

\[ -y + y - 4 \neq 0. \]

Теперь подводя итог, у нас есть решения:

• \((4, 0)\)
• \(\left( \frac{7}{3}, \frac{5}{3} \right)\)
• Решение \(x = y = k\), где \(k\) варьируется.

Таким образом, общее количество различных решений равно:

1. \((4, 0)\)
2. \((0, 0)\) (когда \(y = 0\))
3. \(\left( \frac{7}{3}, \frac{5}{3} \right)\) (из уравнений)

Теперь общее количество различных решений: 3.