Найдите наибольшее трёхзначное число, удовлетрояющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89, если из этого числа вычесть 99, то получится…
Найдите наибольшее трёхзначное число, удовлетрояющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89, если из этого числа вычесть 99, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Нам нужно найти наибольшее трёхзначное число \( ABC \), где \( A, B, C \) — это цифры числа. Условия задачи:
Сумма цифр равна 15: \[ A + B + C = 15 \]
Сумма квадратов цифр равна 89: \[ A^2 + B^2 + C^2 = 89 \]
Если из числа \( ABC \) (в десятках, единицах и сотнях) вычесть 99, получается число \( CBA \): \[ ABC - 99 = CBA \] Это можно записать как: \[ 100A + 10B + C - 99 = 100C + 10B + A \] Упрощаем это равенство: \[ 100A + C - 99 = 100C + A \] \[ 99A - 99C = 99 \] \[ A - C = 1 \] Таким образом, \( A = C + 1 \).
Теперь подставим \( A \) в первые два уравнения:
Сумма цифр: \[ (C + 1) + B + C = 15 \] \[ 2C + B + 1 = 15 \] \[ 2C + B = 14 \quad \text{(уравнение 1)} \]
Сумма квадратов: \[ (C + 1)^2 + B^2 + C^2 = 89 \] Раскроем скобки: \[ C^2 + 2C + 1 + B^2 + C^2 = 89 \] \[ 2C^2 + 2C + B^2 + 1 = 89 \] \[ 2C^2 + 2C + B^2 = 88 \quad \text{(уравнение 2)} \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( 2C + B = 14 \)
- \( 2C^2 + 2C + B^2 = 88 \)
Решим первое уравнение на \( B \): \[ B = 14 - 2C \]
Подставим \( B \) во второе уравнение:
\[ 2C^2 + 2C + (14 - 2C)^2 = 88 \] Раскроем скобки: \[ 2C^2 + 2C + (196 - 56C + 4C^2) = 88 \] Соединим подобные члены: \[ 6C^2 - 54C + 196 - 88 = 0 \] \[ 6C^2 - 54C + 108 = 0 \] Упростим, деля всё на 6: \[ C^2 - 9C + 18 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \] \[ C_{1,2} = \frac{9 \pm 3}{2} \Rightarrow C_1 = 6, C_2 = 3 \]
Теперь подставим \( C \) назад, чтобы найти \( A \) и \( B \).
Для \( C = 6 \): \[ A = C + 1 = 7 \] \[ B = 14 - 2 \cdot 6 = 2 \] Таким образом, одно из возможных чисел \( 726 \).
Для \( C = 3 \): \[ A = C + 1 = 4 \] \[ B = 14 - 2 \cdot 3 = 8 \] Таким образом, другое возможное число \( 483 \).
Теперь проверим сумму квадратов: Для \( 726 \): \[ 7^2 + 2^2 + 6^2 = 49 + 4 + 36 = 89 \]
Для \( 483 \): \[ 4^2 + 8^2 + 3^2 = 16 + 64 + 9 = 89 \]
Оба числа соответствуют условиям, теперь выберем наибольшее: Наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее условиям, это \( 726 \).
