решите уравнение х² + у² - 2х + 6у = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х - 3у
Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах, начнем с преобразования уравнения.
Перепишем его, сгруппировав похожие члены: \[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]
Теперь нам нужно дополнить квадрат для \( x \) и \( y \):
Для \( x^2 - 2x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]
Для \( y^2 + 6y \): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]
Подставим эти преобразования обратно в уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \] Упрощаем это: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] Или \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]
Это уравнение представляет собой окружность с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \). Теперь мы ищем целочисленные решения, то есть такие \( x \) и \( y \), которые удовлетворяют этому уравнению.
Некоторые возможные точки на окружности \( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \):
- \( (1, -3) \): \( 0 + 0 = 10 \) (не подходит)
- \( (4, -3) \): \( 3^2 + 0^2 = 9 + 0 = 9 \) (не подходит)
- \( (1, -1) \): \( 0 + 4 = 4 \) (не подходит)
- \( (1, -5) \): \( 0 + 4 = 4 \) (не подходит)
- \( (4, -1) \): \( (4 - 1)^2 + (-1 + 3)^2 = 9 + 4 = 13 \) (не подходит)
- Другие точки, такие как \( (1\pm \sqrt{10}, -3) \) также не подойдут, так как \( \sqrt{10} \) не является целым числом.
Итак, мы можем рассмотреть все возможные пары, такие как:
- \( (1+ 3, -3) \),
- \( (1 - 3, -3) \), и кроме того, возможно, подберем целые значения при увеличении местоположения по осям.
Найдем значения \( x - 3y \):
- Для точки \( x=4, y=-3 \): \[ x - 3y = 4 - 3(-3) = 4 + 9 = 13 \]
- Для точки \( x=-2, y=-1 \): \[ x - 3y = -2 - 3(-1) = -2 + 3 = 1 \]
Таким образом, среди найденных точек наибольшее значение выражения \( x - 3y = 13 \).
Таким образом, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно \( 13 \).
