Побудуйте графік функції y=-x2+2x. Користуючись графіком знайдіть:а)область значення функції,б)проміжки,на яких функція набуває відʼємних значень,в)проміжок,на якому функція спадає

Для побудови графіка функції \( y = -x^2 + 2x \), давайте спершу знайдемо координати її вершин, а також корені функції.

Крок 1: Знайдемо корені функції

Щоб знайти корені, розв'яжемо рівняння: \[ -x^2 + 2x = 0 \] Вfactorise можемо винести \( x \): \[ x(-x + 2) = 0 \] Отже, корені: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \]

Крок 2: Знайдемо координати вершини параболи

Парабола має вигляд - відкривається вниз. Використовуємо формулу для x-координати вершини: \[ x_{вершини} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \] Тепер підставимо \( x = 1 \) у функцію, щоб знайти значення \( y \): \[ y = -1^2 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1 \] Таким чином, координати вершини - \( (1, 1) \).

Крок 3: Область значення функції

Оскільки відкриття вниз, максимум функції дорівнює y-координаті вершини, а мінімум - \( -\infty \). Отже, область значень: \[ (-\infty, 1] \]

Крок 4: Проміжки, на яких функція набуває від'ємних значень

Функція буде від'ємною, коли \( y < 0 \): \[ -x^2 + 2x < 0 \] Це означає, що між коренями функція буде від'ємною. Стосовно коренів, ми маємо: \[ 0 < x < 2 \] Отже, функція є від'ємною на проміжку: \[ (0, 2) \]

Крок 5: Проміжок, на якому функція спадає

Для визначення проміжків, на яких функція спадає, нам потрібно знайти похідну функції: \[ y' = -2x + 2 \] Прирівняємо похідну до нуля: \[ -2x + 2 = 0 \implies x = 1 \] Зробимо аналіз знаків похідної:

• Для \( x < 1 \) (наприклад, \( x = 0 \)): \( y' = 2 \) (функція зростає).
• Для \( x > 1 \) (наприклад, \( x = 2 \)): \( y' = -2 \) (функція спадає).

Отже, функція спадає на проміжку: \[ (1, +\infty) \]

Висновок

а) Область значення функції: \( (-\infty, 1] \)
б) Проміжки, на яких функція набуває від'ємних значень: \( (0, 2) \)
в) Проміжок, на якому функція спадає: \( (1, +\infty) \)

Для графіка можете використати ці дані, щоб самостійно зобразити функцію у координатах.