Сколько существует пар натуральных чисел (х; у), таких, что 3х+4у = 100?

Question 1

Задача Задача №2386590

А

Аноним

01 декабря 2024 15:31 · публичный вопрос

А

Аноним 01 декабря 2024 15:31

Сколько существует пар натуральных чисел (х; у), таких, что 3х+4у = 100?

Answer

Чтобы найти количество пар натуральных чисел \((x; y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\), давайте рассмотрим это уравнение более подробно.

Мы можем выразить \(y\) через \(x\):

\[ 4y = 100 - 3x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{100 - 3x}{4}. \]

Для того чтобы \(y\) был натуральным числом, \(100 - 3x\) должно быть кратно 4. Таким образом, нам нужно решить уравнение на целые числа.

Теперь найдем значение \(x\), для которого \(100 - 3x \geq 0\):

\[ 100 - 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 100 \geq 3x \quad \Rightarrow \quad 33.33 \geq x. \]

Таким образом, максимальное значение \(x\) может быть 33 (так как \(x\) должно быть натуральным).

Теперь найдем допустимые значения \(x\), при которых \(100 - 3x\) делится на 4. Поскольку \(100\) делится на 4 (остаток 0), мы должны также учесть, что \(3x\) должен давать остаток 0 при делении на 4:

\[ 3x \equiv 0 \mod 4. \]

Находим, какие значения \(x\) позволяют \(3x\) быть кратным 4. Для этого исследуем значения \(x\) по модулю 4:

Если \(x \equiv 0 \mod 4\), то \(3x \equiv 0 \mod 4\) (принимается).
Если \(x \equiv 1 \mod 4\), то \(3x \equiv 3 \mod 4\) (не принимается).
Если \(x \equiv 2 \mod 4\), то \(3x \equiv 2 \mod 4\) (не принимается).
Если \(x \equiv 3 \mod 4\), то \(3x \equiv 1 \mod 4\) (не принимается).

Таким образом, \(x\) может принимать значения, которые кратны 4. Проверяем, какие натуральные числа \(x\) от 1 до 33 кратны 4:

Это числа: \(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32\).

Проверим, сколько их:

\(4\) (для \(x = 4\), \(y = \frac{100 - 12}{4} = 22\)),
\(8\) (для \(x = 8\), \(y = \frac{100 - 24}{4} = 19\)),
\(12\) (для \(x = 12\), \(y = \frac{100 - 36}{4} = 16\)),
\(16\) (для \(x = 16\), \(y = \frac{100 - 48}{4} = 13\)),
\(20\) (для \(x = 20\), \(y = \frac{100 - 60}{4} = 10\)),
\(24\) (для \(x = 24\), \(y = \frac{100 - 72}{4} = 7\)),
\(28\) (для \(x = 28\), \(y = \frac{100 - 84}{4} = 4\)),
\(32\) (для \(x = 32\), \(y = \frac{100 - 96}{4} = 1\)).

Таким образом, мы получили 8 пар натуральных чисел \((x; y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\).

Question 2

Сколько существует пар натуральных чисел (х; у), таких, что 3х+4у = 100?

Answer

Чтобы найти количество пар натуральных чисел \((x; y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\), давайте рассмотрим это уравнение более подробно. Мы можем выразить \(y\) через \(x\): \[ 4y = 100 - 3x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{100 - 3x}{4}. \] Для того чтобы \(y\) был натуральным числом, \(100 - 3x\) должно быть кратно 4. Таким образом, нам нужно решить уравнение на целые числа. Теперь найдем значение \(x\), для которого \(100 - 3x \geq 0\): \[ 100 - 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 100 \geq 3x \quad \Rightarrow \quad 33.33 \geq x. \] Таким образом, максимальное значение \(x\) может быть 33 (так как \(x\) должно быть натуральным). Теперь найдем допустимые значения \(x\), при которых \(100 - 3x\) делится на 4. Поскольку \(100\) делится на 4 (остаток 0), мы должны также учесть, что \(3x\) должен давать остаток 0 при делении на 4: \[ 3x \equiv 0 \mod 4. \] Находим, какие значения \(x\) позволяют \(3x\) быть кратным 4. Для этого исследуем значения \(x\) по модулю 4: 1. Если \(x \equiv 0 \mod 4\), то \(3x \equiv 0 \mod 4\) (принимается). 2. Если \(x \equiv 1 \mod 4\), то \(3x \equiv 3 \mod 4\) (не принимается). 3. Если \(x \equiv 2 \mod 4\), то \(3x \equiv 2 \mod 4\) (не принимается). 4. Если \(x \equiv 3 \mod 4\), то \(3x \equiv 1 \mod 4\) (не принимается). Таким образом, \(x\) может принимать значения, которые кратны 4. Проверяем, какие натуральные числа \(x\) от 1 до 33 кратны 4: Это числа: \(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32\). Проверим, сколько их: - \(4\) (для \(x = 4\), \(y = \frac{100 - 12}{4} = 22\)), - \(8\) (для \(x = 8\), \(y = \frac{100 - 24}{4} = 19\)), - \(12\) (для \(x = 12\), \(y = \frac{100 - 36}{4} = 16\)), - \(16\) (для \(x = 16\), \(y = \frac{100 - 48}{4} = 13\)), - \(20\) (для \(x = 20\), \(y = \frac{100 - 60}{4} = 10\)), - \(24\) (для \(x = 24\), \(y = \frac{100 - 72}{4} = 7\)), - \(28\) (для \(x = 28\), \(y = \frac{100 - 84}{4} = 4\)), - \(32\) (для \(x = 32\), \(y = \frac{100 - 96}{4} = 1\)). Таким образом, мы получили 8 пар натуральных чисел \((x; y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\).