Сколько существует пар натуральных чисел (x;y), таких, что 3х+4y=100?
Для решения уравнения \(3x + 4y = 100\) нужно найти все пары натуральных чисел \( (x; y) \).
Выразим \(y\) через \(x\): \[ 4y = 100 - 3x \implies y = \frac{100 - 3x}{4} \] Чтобы \(y\) было натуральным числом, выражение \(100 - 3x\) должно быть положительным и делиться на 4.
Найдём ограничения для \(x\): Для того чтобы \(100 - 3x > 0\), необходимо, чтобы: \[ 3x < 100 \implies x < \frac{100}{3} \approx 33.33 \] Таким образом, \(x\) может принимать значения от 1 до 33.
Проверим, когда \(100 - 3x\) делится на 4: Мы можем выразить это условие как: \[ 100 - 3x \equiv 0 \mod 4 \] \(100 \mod 4 = 0\), следовательно, мы ищем, при каких \(x\) \(3x \equiv 0 \mod 4\).
Число 3 при делении на 4 даёт остаток 3. Тогда нужно, чтобы \(x \equiv 0 \mod 4\), т.е. \(x\) должно быть кратным 4.
Это значит, что возможные значения для \(x\) могут быть 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, и 32.
Перечислим подходящие значения для \(x\) и вычислим соответствующие \(y\):
- \(x = 4\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 4}{4} = 23\)
- \(x = 8\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 8}{4} = 19\)
- \(x = 12\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 12}{4} = 16\)
- \(x = 16\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 16}{4} = 12\)
- \(x = 20\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 20}{4} = 9\)
- \(x = 24\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 24}{4} = 6\)
- \(x = 28\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 28}{4} = 3\)
- \(x = 32\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 32}{4} = 0\) (это не натуральное число)
Итак, подходящие пары \( (x; y) \) составляют:
- \( (4, 23) \)
- \( (8, 19) \)
- \( (12, 16) \)
- \( (16, 12) \)
- \( (20, 9) \)
- \( (24, 6) \)
- \( (28, 3) \)
Итак, существует 7 пар натуральных чисел \( (x; y) \), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\).
