В треугольнике АВС проведена медиана ВК. Известно, что АВ - ВС. Найдите АС, если АВ - 30, а ВК -18.

В треугольнике \(ABC\) проведена медиана \(BK\) из вершины \(B\) к стороне \(AC\). Условие \(AB = BC\) означает, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным треугольником с основанием \(AC\).

Обозначим:

• \(AB = c = 30\)
• \(BC = a = 30\)
• \(AC = b\)
• \(BK = m = 18\)

Формула для медианы \(m\) в треугольнике: \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} \] Подставим наши значения в формулу: \[ 18 = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 30^2 + 2 \cdot 30^2 - b^2} \] Упростим это уравнение: \[ 18 = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 900 + 2 \cdot 900 - b^2} \] \[ 18 = \frac{1}{2} \sqrt{1800 - b^2} \] Умножим обе стороны на 2: \[ 36 = \sqrt{1800 - b^2} \] Теперь возведем обе стороны в квадрат: \[ 1296 = 1800 - b^2 \] \[ b^2 = 1800 - 1296 \] \[ b^2 = 504 \] Теперь найдём \(b\): \[ b = \sqrt{504} = \sqrt{36 \cdot 14} = 6 \sqrt{14} \]

Таким образом, длина стороны \(AC\) равна \(b = 6\sqrt{14}\).