Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события "хотя бы раз выпало 3 очка"?

Для решения задачи, давайте сначала определим общее количество способов, которыми можно получить сумму 6 очков за 3 броска игральной кости, а затем найдем количество этих способов, в которых хотя бы один раз выпало 3 очка. ### 1. Общее количество исходов В каждом броске игральной кости можно получить 6 различных значений (от 1 до 6). Поскольку кость бросается 3 раза, общее количество исходов равно \(6^3 = 216\). ### 2. Найдем количество способов, чтобы сумма равнялась 6 Теперь найдем все возможные комбинации трёх бросков, дающие в сумме 6 очков. Обозначим результаты бросков как \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), где \(1 \leq x_1, x_2, x_3 \leq 6\). Нам нужно решить уравнение: \[ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \] с условием, что \(x_i \geq 1\). Для этого сделаем замену: \(y_i = x_i - 1\), где \(y_i \geq 0\). Тогда уравнение примет вид: \[ y_1 + y_2 + y_3 = 3 \] Количество решений этого уравнения можно найти с помощью формулы для сочетаний с учетом повторений: \[ C(n + k - 1, k - 1) = C(3 + 3 - 1, 3 - 1) = C(5, 2) = 10 \] Таким образом, существует 10 комбинаций для достижение суммы 6. ### 3. Найдем количество способов с хотя бы одним 3 Теперь найдем количество таких комбинаций, в которых хотя бы раз выпало 3 очка. Для этого проще сначала найти количество комбинаций, в которых 3 не выпало. #### 3.1. Количество случаев, когда 3 не выпало Если 3 не выпало, то возможные значения для \(x_i\) могут быть 1, 2, 4, 5, 6. То есть, нам нужно решить уравнение: \[ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \] где \(x_i\) принимает значения из множества {1, 2, 4, 5, 6}. Вначале посчитаем число решений, где \(x_i \geq 1\) с добавлением \(x_i \neq 3\). Мы можем написать комбинации: (1, 1, 4), (1, 2, 3), (1, 3, 2), и так далее, при этом все соответствующие изменения работают. Однако целесообразнее раскрыть решение всего массива возможных решений. #### 3.2. Применим метод исключения Напротив значений x, пробежим по всем возможным моделям и затянем количество неверных вариантов. На самом деле, можно посчитать это через общее количество комбинаций получается: \[ N_{\text{без } 3} = 6^3 - N_{\text{с } 3} \] Нам нужно 10, которые вообще. Теперь мы можем показать: #### 3.3. Итог Таким образом, общее число вариантов, когда есть хотя бы один 3, соответствует: \[ 10 \text{ (все варианты)} - 6 = 4 \] Таким образом, два формы ограничения под углом до того привести: ### 4. Вероятность Вероятность будет равняться: \[ P = \frac{N_{\text{с } 3}}{N_{\text{все}}} = \frac{10 - 4}{10} = \frac{6}{10} \] Таким образом вероятность попадания хотя бы одного 3 в 3-х бросках антипиролитом, это равно: \[ \frac{4}{10} = 0.4 \] **Ответ: Вероятность события "хотя бы раз выпало 3 очка" равна 0.4 или 40%.**