Выбери правильный вариант ответа
Давай решим систему уравнений:
- \( \sin z = \cos y \)
- \( 2\cos^2 y + \sin z = 3 \)
Сначала преобразуем второе уравнение:
\[ 2\cos^2 y = 3 - \sin z \]
\[ \cos^2 y = \frac{3 - \sin z}{2} \]
Теперь подставим первое уравнение \( \sin z = \cos y \) в преобразованное второе уравнение:
\[ \cos^2 y = \frac{3 - \cos y}{2} \]
Решим это квадратное уравнение относительно \( \cos y \). Обозначим \( x = \cos y \):
\[ x^2 = \frac{3 - x}{2} \]
\[ 2x^2 + x - 3 = 0 \]
Решаем уравнение через дискриминант \( D \):
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \]
Корни квадратного уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} \]
\[ x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2} \]
Поскольку \(|\cos y| \leq 1\), принимаем \(x_1 = 1\), то есть \(\cos y = 1\), значит \(y = 2\pi k\).
Подставив \( \cos y = 1 \) в первое уравнение \( \sin z = \cos y \), получаем \(\sin z = 1\), то есть \(z = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\).
Теперь сопоставим с ответами. Это соответствует варианту:
\[ \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi k\right), n \in \mathbb{Z}, k \in \mathbb{Z} \]
Так выглядит ваш вариант 3.
