Решите уравнение x^2+y^2 - 2x + 6y = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х - 3у.

Решим уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \).

Сначала приведем его к стандартному виду. Начнем с того, что сгруппируем и упростим его:

\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]

Для того чтобы упростить уравнение, можно воспользоваться формулами квадратов. Начнем с \( x^2 - 2x \):

\[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

Теперь преобразуем \( y^2 + 6y \):

\[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \]

Упрощаем это:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \]

Следовательно, получаем:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Это уравнение описывает окружность радиуса \(\sqrt{10}\) с центром в точке \((1, -3)\). Мы ищем целые значения \(x\) и \(y\), такие что:

\((x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10\).

Теперь найдем все пары \((x, y)\), удовлетворяющие этому уравнению.

Рассмотрим целые значения для \((x - 1)\) и \((y + 3)\):

Пары \((a, b)\) таких, что \(a^2 + b^2 = 10\):

• \( (3, 1) \) и \( (1, 3) \)
• \( (3, -1) \) и \( (1, -3) \)
• \( (-3, 1) \) и \( (-1, 3) \)
• \( (-3, -1) \) и \( (-1, -3) \)
• \( (0, \sqrt{10}) \) и \( (0, -\sqrt{10}) \) (не целые)
• Возможные значения: \( (3, 1), (1, 3), (0, -3), (-3, -1), (-1, -3), (3, -1), (-3, 1), (-1, 3) \)

Теперь найдем соответствие с \(x\) и \(y\):

1. \( (3, 1) \): \( x = 4, y = -2 \)
2. \( (1, 3) \): \( x = 2, y = 0 \)
3. \( (3, -1) \): \( x = 4, y = -4 \)
4. \( (1, -3) \): \( x = 2, y = -6 \)
5. \( (-1, 3) \): \( x = 0, y = 0 \)
6. \( (-3, 1) \): \( x = -2, y = -2 \)
7. \( (-1, -3) \): \( x = 0, y = -6 \)
8. \( (-3, -1) \): \( x = -2, y = -4 \)

Теперь подставим значения \(x\) и \(y\) в выражение \( х - 3y \) и найдем наибольшее значение:

1. \( 4 - 3*(-2) = 4 + 6 = 10 \)
2. \( 2 - 3*0 = 2 \)
3. \( 4 - 3*(-4) = 4 + 12 = 16 \)
4. \( 2 - 3*(-6) = 2 + 18 = 20 \)
5. \( 0 - 3*0 = 0 \)
6. \( -2 - 3*(-2) = -2 + 6 = 4 \)
7. \( 0 - 3*(-6) = 0 + 18 = 18 \)
8. \( -2 - 3*(-4) = -2 + 12 = 10 \)

Максимальное значение \( х - 3y \) равно \( 20 \).

Наивысшее значение выражения \( x - 3y \) достигается при \( x = 2, y = -6 \).

Ответ: 20.