Монету бросают 5 раз. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 4 раза?
Чтобы найти вероятность того, что орёл выпадет ровно 4 раза при 5 бросках монеты, можно использовать биномиальное распределение. Формула для вычисления вероятности \( P(X = k) \) в биномиальном распределении выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( n \) — общее число испытаний (в нашем случае 5),
- \( k \) — число успешных испытаний (в нашем случае 4),
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае вероятность того, что выпадет орёл, равная \( \frac{1}{2} \)),
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Шаги для вычисления:
Определим параметры:
- \( n = 5 \)
- \( k = 4 \)
- \( p = \frac{1}{2} \)
Вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot (5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5 \]
Подставим в формулу: \[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5 - 4} = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \]
Упростим выражение: \[ P(X = 4) = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32} \]
Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет ровно 4 раза при 5 бросках монеты, равна \( \frac{5}{32} \).
