5^2x-5^x-600=0

Для решения уравнения \(5^{2x} - 5^x - 600 = 0\) давайте сделаем замену переменной. Обозначим \(y = 5^x\). Тогда \(5^{2x}\) можно выразить как \(y^2\). Уравнение преобразуется в:

\[y^2 - y - 600 = 0.\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Чтобы решить его, воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -600\).

Сначала находим дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 1 + 2400 = 2401.\]

Теперь вычислим корни:

\[y = \frac{1 \pm \sqrt{2401}}{2}.\]

Так как \(\sqrt{2401} = 49\), получаем:

\[y = \frac{1 + 49}{2} = \frac{50}{2} = 25,\]

и

\[y = \frac{1 - 49}{2} = \frac{-48}{2} = -24.\]

Поскольку \(y = 5^x\) не может быть отрицательным, мы берем только положительное значение \(y = 25\).

Теперь, вернемся к нашей замене \(5^x = 25\), что можно записать как:

\[5^x = 5^2.\]

Таким образом, \(x = 2\).

Итак, решение уравнения \(5^{2x} - 5^x - 600 = 0\) - это \(x = 2\).