Решите уравнение X2 + y2 - 2x + 6x = 0 в целых числах в ответе Укажите наибольшее значение выражения X - 3y

Для решения уравнения \( X^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) сначала упорядочим его. Упрощаем его следующими шагами:

1. Перепишем уравнение: \[ X^2 - 2X + y^2 + 6y = 0 \]

2. Теперь сгруппируем переменные \( X \) и \( y \): \[ (X^2 - 2X) + (y^2 + 6y) = 0 \]

3. Применим полный квадрат для каждой части: \[ (X - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \] Это дает: \[ (X - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] Или: \[ (X - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Уравнение \((X - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10\) представляет собой окружность с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\).

Теперь найдем целые решения этого уравнения. Индексы возможных значений для \((X - 1)\) и \((y + 3)\) могут быть следующими парами чисел, квадрат которых в сумме даст 10:

• \( (\pm 1, \pm 3) \)
• \( (\pm 3, \pm 1) \)
• \( (\pm 0, \pm \sqrt{10}) \) (нецелое решение, мы не будем его брать)

Теперь проверим каждую из пар:

1. Для \((X - 1, y + 3) = (1, 3)\):

   • \( X = 2 \), \( y = 0 \) —> \( X - 3y = 2 - 3(0) = 2 \)

2. Для \((X - 1, y + 3) = (1, -3)\):

   • \( X = 2 \), \( y = -6 \) —> \( X - 3y = 2 - 3(-6) = 2 + 18 = 20 \)

3. Для \((X - 1, y + 3) = (-1, 3)\):

   • \( X = 0 \), \( y = 0 \) —> \( X - 3y = 0 - 3(0) = 0 \)

4. Для \((X - 1, y + 3) = (-1, -3)\):

   • \( X = 0 \), \( y = -6 \) —> \( X - 3y = 0 - 3(-6) = 0 + 18 = 18 \)

5. Для \((X - 1, y + 3) = (3, 1)\):

   • \( X = 4 \), \( y = -2 \) —> \( X - 3y = 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10 \)

6. Для \((X - 1, y + 3) = (3, -1)\):

   • \( X = 4 \), \( y = -4 \) —> \( X - 3y = 4 - 3(-4) = 4 + 12 = 16 \)

7. Для \((X - 1, y + 3) = (-3, 1)\):

   • \( X = -2 \), \( y = -2 \) —> \( X - 3y = -2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4 \)

8. Для \((X - 1, y + 3) = (-3, -1)\):

   • \( X = -2 \), \( y = -4 \) —> \( X - 3y = -2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10 \)

Таким образом, мы получили следующие значения \( X - 3y \):

• 2
• 20
• 0
• 18
• 10
• 16
• 4
• 10

Наибольшее значение выражения \( X - 3y \) равно 20.