Решите уравнение X2 + y2 - 2x + 6x = 0 в целых числах в ответе Укажите наибольшее значение выражения X - 3y

Для решения уравнения \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) сначала можно привести его к более удобному виду.

Соберем все члены:

\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]

Теперь выделим полный квадрат для \( x \) и \( y \):

1. Для \( x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

2. Для \( y \): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

\[ ((x - 1)^2 - 1) + ((y + 3)^2 - 9) = 0 \]

Упростим это:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \]

Переносим 10 в другую часть уравнения:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Это уравнение описывает круг с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \).

Теперь ищем целочисленные решения для \( (x, y) \). Заметим, что \( (x - 1)^2 \) и \( (y + 3)^2 \) должны быть неотрицательными и их сумма равна 10. Рассмотрим все возможные пары целых чисел \( a = (x - 1)^2 \) и \( b = (y + 3)^2 \), такие что \( a + b = 10 \):

• \( (0, 10) \) → \( x = 1, y = 7 \)
• \( (1, 9) \) → \( x = 2, y = 6 \) или \( x = 0, y = 6 \)
• \( (4, 6) \) → \( x = 3, y = 3 \) или \( x = -1, y = 3 \)
• \( (9, 1) \) → \( x = 4, y = -2 \) или \( x = -2, y = -2 \)
• \( (10, 0) \) → \( x = 5, y = -3 \) или \( x = -3, y = -3 \)

Теперь найдем значения выражения \( x - 3y \):

1. Для \( (1, 7) \): \( 1 - 3 \cdot 7 = 1 - 21 = -20 \)
2. Для \( (2, 6) \): \( 2 - 3 \cdot 6 = 2 - 18 = -16 \)
3. Для \( (0, 6) \): \( 0 - 3 \cdot 6 = 0 - 18 = -18 \)
4. Для \( (3, 3) \): \( 3 - 3 \cdot 3 = 3 - 9 = -6 \)
5. Для \( (-1, 3) \): \( -1 - 3 \cdot 3 = -1 - 9 = -10 \)
6. Для \( (4, -2) \): \( 4 - 3 \cdot -2 = 4 + 6 = 10 \)
7. Для \( (-2, -2) \): \( -2 - 3 \cdot -2 = -2 + 6 = 4 \)
8. Для \( (5, -3) \): \( 5 - 3 \cdot -3 = 5 + 9 = 14 \)
9. Для \( (-3, -3) \): \( -3 - 3 \cdot -3 = -3 + 9 = 6 \)

Из всех полученных значений наибольшее значение \( x - 3y \):

\[ \max( -20, -16, -18, -6, -10, 10, 4, 14, 6 ) = 14 \]

Итак, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно 14.