Про уравнение известно, что два из его корней равны 7 и 4. Найдите остальные корни. 2х^4−7х^3−87х^2 + 178х+ 616 = 0

Давайте разберем ваше уравнение. У нас есть многочлен четвертой степени:

\(2x^4 - 7x^3 - 87x^2 + 178x + 616 = 0\)

Два корня этого уравнения равны 7 и 4. Мы можем использовать эти корни для нахождения остальных корней, используя деление многочлена.

Сначала, мы можем записать многочлен в виде произведения, используя известные корни:

\( (x - 7)(x - 4) \)

Теперь, чтобы найти оставшиеся корни, нам нужно разделить оригинальный многочлен на произведение корней 7 и 4.

Давайте начнем с этого деления. Произведение \( (x - 7)(x - 4) = x^2 - 11x + 28 \).

Теперь мы разделим \( 2x^4 - 7x^3 - 87x^2 + 178x + 616 \) на \( x^2 - 11x + 28 \).

Выполним деление:

1. Делим первый член: \(2x^4 / x^2 = 2x^2\).

2. Умножаем: \(2x^2(x^2 - 11x + 28) = 2x^4 - 22x^3 + 56x^2\).

3. Вычитаем из оригинального уравнения: \[ (2x^4 - 7x^3 - 87x^2) - (2x^4 - 22x^3 + 56x^2) = 15x^3 - 143x^2 + 178x + 616\]

4. Теперь делим \(15x^3 \) на \(x^2\): \(15x^3 / x^2 = 15x\).

5. Умножаем: \(15x(x^2 - 11x + 28) = 15x^3 - 165x^2 + 420x\).

6. Вычитаем снова: \[ (15x^3 - 143x^2 + 178x) - (15x^3 - 165x^2 + 420x) = 22x^2 - 242x + 616\]

7. Теперь делим \(22x^2\) на \(x^2\): \(22x^2 / x^2 = 22\).

8. Умножаем: \(22(x^2 - 11x + 28) = 22x^2 - 242x + 616\).

9. Вычитаем: \[ (22x^2 - 242x + 616) - (22x^2 - 242x + 616) = 0\].

Таким образом, результат деления:

\[ 2x^2 + 15x + 22 = 0 \]

Теперь мы можем найти оставшиеся корни этого квадратного уравнения с помощью формулы корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \(a = 2\), \(b = 15\), \(c = 22\).

Теперь подставляем значения:

1. \(b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 22 = 225 - 176 = 49\).
2. Найдем корни:

\[ x = \frac{-15 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 \pm 7}{4} \]

Теперь посчитаем два возможных значения:

1. Первый корень: \[ x_1 = \frac{-15 + 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]

2. Второй корень: \[ x_2 = \frac{-15 - 7}{4} = \frac{-22}{4} = -5.5 \]

Итак, остальные корни уравнения:

\( -2 \) и \( -5.5 \).

Таким образом, все корни уравнения:

\(7, 4, -2, -5.5\).