X(x-3)(x+2)<0

Чтобы решить неравенство \( x(x-3)(x+2)<0 \), давайте следовать пошагово.

1. Найдите нулевые точки: Мы начинаем с нахождения значений \( x \), при которых каждая из скобок равна нулю. Это позволяет нам определить критические точки:

   • \( x = 0 \)
   • \( x - 3 = 0 \) → \( x = 3 \)
   • \( x + 2 = 0 \) → \( x = -2 \)

   Таким образом, у нас есть три критические точки: \( -2, 0, 3 \).

2. Построим интервал на числовой прямой: Используя найденные критические точки, мы разбиваем числовую прямую на четыре интервала:

   • \( (-\infty, -2) \)
   • \( (-2, 0) \)
   • \( (0, 3) \)
   • \( (3, +\infty) \)

3. Определим знак произведения на каждом интервале: Мы возьмём тестовые значения из каждого интервала и подставим их в выражение \( x(x-3)(x+2) \):

   • Для интервала \( (-\infty, -2) \) возьмем, например, \( x = -3 \): \( (-3)(-3-3)(-3+2) = (-3)(-6)(-1) = -18 < 0 \) → знак отрицательный.

   • Для интервала \( (-2, 0) \) возьмем, например, \( x = -1 \): \( (-1)(-1-3)(-1+2) = (-1)(-4)(1) = 4 > 0 \) → знак положительный.

   • Для интервала \( (0, 3) \) возьмем, например, \( x = 1 \): \( (1)(1-3)(1+2) = (1)(-2)(3) = -6 < 0 \) → знак отрицательный.

   • Для интервала \( (3, +\infty) \) возьмем, например, \( x = 4 \): \( (4)(4-3)(4+2) = (4)(1)(6) = 24 > 0 \) → знак положительный.

4. Определите, где выражение меньше нуля: Мы ищем те интервалы, где произведение меньше нуля:

   • \( (-\infty, -2) \) → знак отрицательный.
   • \( (-2, 0) \) → знак положительный.
   • \( (0, 3) \) → знак отрицательный.
   • \( (3, +\infty) \) → знак положительный.

Таким образом, наше решение будет в интервалах, где произведение меньше нуля:

\[ x \in (-\infty, -2) \cup (0, 3) \]

5. Заключение: В результате, неравенство \( x(x-3)(x+2) < 0 \) выполняется для значений \( x \) в интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (0, 3) \).