(2x+3)(3x-1)(x+4)>0

Чтобы решить неравенство \((2x + 3)(3x - 1)(x + 4) > 0\), необходимо определить, при каких значениях \(x\) произведение будет больше нуля. Для этого следуем следующим шагам:

1. Определим корни уравнения: Для начала найдем нули каждого факториала.

   • \(2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\)
   • \(3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\)
   • \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)

2. Расположим корни на числовой прямой: У нас есть три корня: \(-4\), \(-\frac{3}{2}\) и \(\frac{1}{3}\). Расставим их на числовой прямой: \[ -4 < -\frac{3}{2} < \frac{1}{3} \]

3. Определим интервалы: Эти корни разбивают число на четыре интервала:

   • \((-∞, -4)\)
   • \((-4, -\frac{3}{2})\)
   • \((- \frac{3}{2}, \frac{1}{3})\)
   • \((\frac{1}{3}, +∞)\)

4. Проверка знака в каждом интервале: Для каждого интервала подставим тестовые значения и определим знак произведения.

   • Для интервала \((-∞, -4)\): Пусть \(x = -5\) \[ (2(-5) + 3)(3(-5) - 1)(-5 + 4) = (-10 + 3)(-15 - 1)(-1) = (-7)(-16)(-1) < 0 \]
   • Для интервала \((-4, -\frac{3}{2})\): Пусть \(x = -2\) \[ (2(-2) + 3)(3(-2) - 1)(-2 + 4) = (-4 + 3)(-6 - 1)(2) = (-1)(-7)(2) > 0 \]
   • Для интервала \((- \frac{3}{2}, \frac{1}{3})\): Пусть \(x = 0\) \[ (2(0) + 3)(3(0) - 1)(0 + 4) = (3)(-1)(4) < 0 \]
   • Для интервала \((\frac{1}{3}, +∞)\): Пусть \(x = 1\) \[ (2(1) + 3)(3(1) - 1)(1 + 4) = (2 + 3)(3 - 1)(5) = (5)(2)(5) > 0 \]

5. Вывод: Теперь мы увидели, что произведение положительно в следующих интервалах:

   • \((-4, -\frac{3}{2})\)
   • \((\frac{1}{3}, +∞)\)

Таким образом, решением неравенства \((2x + 3)(3x - 1)(x + 4) > 0\) являются интервалы: \[ x \in (-4, -\frac{3}{2}) \cup (\frac{1}{3}, +∞) \]