решите уравнение x2+y2-2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x-3y

Чтобы решить уравнение \(x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0\) в целых числах, давайте сначала перепишем его в более удобной форме.

1. Сгруппируем термины: \[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0. \]

2. Завершаем квадрат для \(x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1. \]

3. Завершаем квадрат для \(y\): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9. \]

Теперь подставим это обратно в уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0. \] Упрощаем: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0, \] что приводит к: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10. \]

Это уравнение описывает круг с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\). Чтобы найти целые решения, определим целые координаты \((x, y)\), которые удовлетворяют этому уравнению.

Мы можем искать такие пары \((x, y)\), которые соответствуют целым значениям, при условии, что сумма квадратов двух чисел равна 10.

Применяя перебор, мы получаем:

1. \( (x-1)^2 = 0 \) и \( (y+3)^2 = 10 \):

   • \( x = 1\), \( y + 3 = \pm \sqrt{10} \) (нет целых решений).

2. \( (x-1)^2 = 1 \) и \( (y+3)^2 = 9 \):

   • \( x - 1 = \pm 1 \rightarrow x = 0 \text{ или } 2 \)
   • \( y + 3 = \pm 3 \rightarrow y = 0 \text{ или } -6 \)
   • Получаем пары: \((0, 0), (0, -6), (2, 0), (2, -6)\).

3. \( (x-1)^2 = 4 \) и \( (y+3)^2 = 6 \):

   • \( x - 1 = \pm 2 \rightarrow x = -1 \text{ или } 3 \)
   • \( y + 3 = \pm \sqrt{6} \) (нет целых решений).

4. \( (x-1)^2 = 9 \) и \( (y+3)^2 = 1 \):

   • \( x - 1 = \pm 3 \rightarrow x = -2 \text{ или } 4 \)
   • \( y + 3 = \pm 1 \rightarrow y = -2 \text{ или } -4 \)
   • Получаем пары: \((-2, -2), (-2, -4), (4, -2), (4, -4)\).

Теперь соберем все целые решения:

• Пары: \((0, 0), (0, -6), (2, 0), (2, -6), (-2, -2), (-2, -4), (4, -2), (4, -4)\).

Теперь найдем выражение \(x - 3y\) для каждой полученной пары:

1. Для \((0, 0)\): \(0 - 3 \times 0 = 0\).
2. Для \((0, -6)\): \(0 - 3 \times (-6) = 18\).
3. Для \((2, 0)\): \(2 - 3 \times 0 = 2\).
4. Для \((2, -6)\): \(2 - 3 \times (-6) = 20\).
5. Для \((-2, -2)\): \(-2 - 3 \times (-2) = 4\).
6. Для \((-2, -4)\): \(-2 - 3 \times (-4) = 10\).
7. Для \((4, -2)\): \(4 - 3 \times (-2) = 10\).
8. Для \((4, -4)\): \(4 - 3 \times (-4) = 16\).

Наибольшее значение выражения \(x - 3y\) среди всех полученных значений:

• \(0, 18, 2, 20, 4, 10, 10, 16\).

Наибольшее из них — \(20\).

Таким образом, наибольшее значение выражения \(x - 3y\) равно \(20\).