решите уравнение x2+y2-2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x-3y

Для решения уравнения \(x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0\) в целых числах, начнем с приведения его к более удобному виду. Это квадратное уравнение можно переписать следующим образом:

1. Запишем его в стандартной форме: \[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]

2. Теперь выделим полный квадрат для \(x\) и \(y\). Для \(x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] Для \(y\): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \] Упрощаем: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] или \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Теперь нам необходимо найти целочисленные решения этого уравнения. Поскольку \(A^2 + B^2 = 10\), каковы возможные целые значения \(A\) и \(B\)?

Возможные пары (поскольку 10 имеет только ограниченное количество квадратов целых чисел) будут:

• \(A = \pm 1, B = \pm 3\)
• \(A = \pm 3, B = \pm 1\)
• \(A = \pm \sqrt{10}\) не является целым.

Теперь можно выписать все возможные пары:

1. \( (1, 3) \)
2. \( (1, -3) \)
3. \( (-1, 3) \)
4. \( (-1, -3) \)
5. \( (3, 1) \)
6. \( (3, -1) \)
7. \( (-3, 1) \)
8. \( (-3, -1) \)

Теперь преобразуем эти пары в \(x\) и \(y\):

• \(x - 1 = 1\) и \(y + 3 = 3\) даёт \((x, y) = (2, 0)\)
• \(x - 1 = 1\) и \(y + 3 = -3\) даёт \((x, y) = (2, -6)\)
• \(x - 1 = -1\) и \(y + 3 = 3\) даёт \((x, y) = (0, 0)\)
• \(x - 1 = -1\) и \(y + 3 = -3\) даёт \((x, y) = (0, -6)\)
• \(x - 1 = 3\) и \(y + 3 = 1\) даёт \((x, y) = (4, -2)\)
• \(x - 1 = 3\) и \(y + 3 = -1\) даёт \((x, y) = (4, -4)\)
• \(x - 1 = -3\) и \(y + 3 = 1\) даёт \((x, y) = (-2, -2)\)
• \(x - 1 = -3\) и \(y + 3 = -1\) даёт \((x, y) = (-2, -4)\)

Теперь вычислим значение выражения \(x - 3y\) для всех полученных целых пар:

• Для \((2, 0)\): \(2 - 3 \cdot 0 = 2\)
• Для \((2, -6)\): \(2 - 3 \cdot (-6) = 20\)
• Для \((0, 0)\): \(0 - 3 \cdot 0 = 0\)
• Для \((0, -6)\): \(0 - 3 \cdot (-6) = 18\)
• Для \((4, -2)\): \(4 - 3 \cdot (-2) = 10\)
• Для \((4, -4)\): \(4 - 3 \cdot (-4) = 16\)
• Для \((-2, -2)\): \(-2 - 3 \cdot (-2) = 4\)
• Для \((-2, -4)\): \(-2 - 3 \cdot (-4) = 10\)

Наибольшее значение \(x - 3y\) среди всех пар:

\[ \max(2, 20, 0, 18, 10, 16, 4, 10) = 20 \]

Таким образом, наибольшее значение выражения \(x - 3y\) при целых \(x\) и \(y\) равно \(20\).