Сколько существует пар натуральных чисел (х; у), таких, что 3х+4у = 100?

Для нахождения количества пар натуральных чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\), мы можем выразить одно из чисел через другое и изучить, какие натуральные значения они могут принимать.

Шаг 1: Выразим \(y\) через \(x\)

Перепишем уравнение:

\[ 4y = 100 - 3x \]

Теперь выразим \(y\):

\[ y = \frac{100 - 3x}{4} \]

Шаг 2: Найдем условия натуральности

Чтобы \(y\) было натуральным числом, необходимо, чтобы \(100 - 3x\) было делимым на 4 и при этом \(100 - 3x > 0\).

Шаг 3: Определим диапазон значений для \(x\)

1. Чтобы \(100 - 3x > 0\): \[ 100 > 3x \implies x < \frac{100}{3} \approx 33.33 \] Это означает, что \(x\) может принимать значения от 1 до 33 (включительно).

2. Теперь найдем, когда \(100 - 3x\) делится на 4. Для этого рассмотрим выражение \(100 - 3x \equiv 0 \mod 4\).

Шаг 4: Преобразуем уравнение по модулю 4

Поскольку \(100 \equiv 0 \mod 4\), нам нужно, чтобы следовало: \[ -3x \equiv 0 \mod 4 \] или, что эквивалентно: \[ 3x \equiv 0 \mod 4 \]

Шаг 5: Определим, при каких \(x\) это верно

Так как \(3\) и \(4\) взаимно простые, \(x\) должно быть кратным \(4\). Таким образом, допустимые значения \(x\) будут: \[ x = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 \]

Шаг 6: Подсчитаем количество допустимых \(x\)

Теперь подсчитаем количество подходящих значений \(x\):

• \(4 \times 1 = 4\)
• \(4 \times 2 = 8\)
• \(4 \times 3 = 12\)
• \(4 \times 4 = 16\)
• \(4 \times 5 = 20\)
• \(4 \times 6 = 24\)
• \(4 \times 7 = 28\)
• \(4 \times 8 = 32\)

Всего есть 8 подходящих значений для \(x\).

Шаг 7: Вычислим соответствующие \(y\)

Теперь найдем соответствующие значения для \(y\):

• Для \(x=4\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 4}{4} = 23\)
• Для \(x=8\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 8}{4} = 19\)
• Для \(x=12\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 12}{4} = 16\)
• Для \(x=16\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 16}{4} = 13\)
• Для \(x=20\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 20}{4} = 10\)
• Для \(x=24\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 24}{4} = 7\)
• Для \(x=28\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 28}{4} = 4\)
• Для \(x=32\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 32}{4} = 1\)

Таким образом, существует 8 пар натуральных чисел \((x, y)\), таких что \(3x + 4y = 100\).