(×-7)²<√11(×-7)
Чтобы решить неравенство \( (x-7)^2 < \sqrt{11}(x-7) \), начнем с обозначения \( y = x - 7 \). Это упростит наше неравенство:
\[ y^2 < \sqrt{11}y \]
Теперь перенесем все элементы в одну сторону:
\[ y^2 - \sqrt{11}y < 0 \]
Теперь можно вынести общий множитель \( y \):
\[ y(y - \sqrt{11}) < 0 \]
Теперь мы имеем произведение двух множителей меньше нуля. Чтобы выяснить, когда это неравенство выполняется, найдем корни уравнения \( y(y - \sqrt{11}) = 0 \):
- \( y = 0 \)
- \( y = \sqrt{11} \)
Теперь определим промежутки, которые определяются этими корнями: \( (-\infty, 0) \), \( (0, \sqrt{11}) \) и \( (\sqrt{11}, +\infty) \).
Выберем тестовые точки из каждого промежутка для проверки:
Для \( y = -1 \) (из промежутка \( (-\infty, 0) \)):
\[ (-1)(-1 - \sqrt{11}) > 0 \]
Для \( y = 1 \) (из промежутка \( (0, \sqrt{11}) \)):
\[ (1)(1 - \sqrt{11}) < 0 \]
Для \( y = 4 \) (из промежутка \( (\sqrt{11}, +\infty) \)):
\[ (4)(4 - \sqrt{11}) > 0 \]
Таким образом, неравенство \( y(y - \sqrt{11}) < 0 \) выполняется на промежутке:
\[ 0 < y < \sqrt{11} \]
Теперь вернемся к переменной \( x \):
\[ 0 < x - 7 < \sqrt{11} \]
Что означает:
\[ 7 < x < 7 + \sqrt{11} \]
Итак, решение неравенства \( (x-7)^2 < \sqrt{11}(x-7) \) будет:
\[ x \in (7, 7 + \sqrt{11}) \]
Это и есть окончательный ответ.
