Для решения данной задачи воспользуемся следующими формулами и понятийной базой.
Сечение шара плоскостью образует круг, радиус которого можно определить по формуле площади круга:
[
S = \pi r^2
]
где:
- ( S ) — площадь круга,
- ( r ) — радиус круга.
Дано, что площадь сечения ( S = 16 ) см². Подставим это значение в формулу:
[
16 = \pi r^2
]
Отсюда можно выразить радиус круга:
[
r^2 = \frac{16}{\pi} \implies r = \sqrt{\frac{16}{\pi}} = \frac{4}{\sqrt{\pi}}
]
Также известно, что расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 2 см. Обозначим радиус шара через ( R ).
По теореме Pифагора можно установить связь между радиусом шара, радиусом круга сечения и расстоянием от центра шара до плоскости:
[
R^2 = r^2 + d^2
]
где ( d = 2 ) см — расстояние от центра шара до плоскости сечения.
Теперь подставим известные значения:
[
R^2 = \left( \frac{4}{\sqrt{\pi}} \right)^2 + (2)^2
]
Это можно упростить:
[
R^2 = \frac{16}{\pi} + 4
]
Чтобы привести к общему знаменателю, представим 4 как дробь:
[
R^2 = \frac{16}{\pi} + \frac{4\pi}{\pi} = \frac{16 + 4\pi}{\pi}
]
Теперь найдём радиус шара ( R ):
[
R = \sqrt{\frac{16 + 4\pi}{\pi}}
]
Таким образом, радиус шара равен:
[
R = \sqrt{\frac{16 + 4\pi}{\pi}}
]
Вывод: радиус шара составляет ( R = \sqrt{\frac{16 + 4\pi}{\pi}} ) см.
