x(x-8)>(2x-1)²

Чтобы решить неравенство \( x(x-8) > (2x-1)^2 \), начнем с того, что преобразуем обе стороны.

1. Раскроем скобки с обеих сторон: \[ x^2 - 8x > (2x - 1)(2x - 1) = 4x^2 - 4x + 1. \]

2. Переносим все выражения на одну сторону неравенства: \[ x^2 - 8x - 4x^2 + 4x - 1 > 0. \] Это упрощается до: \[ -3x^2 - 4x - 1 > 0. \]

3. Умножим неравенство на -1, что изменит знак неравенства: \[ 3x^2 + 4x + 1 < 0. \]

4. Теперь мы найдем корни квадратного уравнения \( 3x^2 + 4x + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4. \] Корни уравнения будут найдены по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 2}{2 \cdot 3}. \]

5. Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-4 + 2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-4 - 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1. \]

6. Теперь у нас есть корни \( x_1 = -\frac{1}{3} \) и \( x_2 = -1 \). Это значит, что у нас есть промежутки для тестирования: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, -\frac{1}{3}) \), и \( (-\frac{1}{3}, \infty) \).

7. Выберем тестовые значения из каждого промежутка:

   • Для \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \[ 3(-2)^2 + 4(-2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0. \]
   • Для \( -1 < x < -\frac{1}{3} \), например \( x = -\frac{1}{2} \): \[ 3(-\frac{1}{2})^2 + 4(-\frac{1}{2}) + 1 = \frac{3}{4} - 2 + 1 = \frac{3}{4} - 2 + \frac{4}{4} = \frac{-1}{4} < 0. \]
   • Для \( x > -\frac{1}{3} \), например \( x = 0 \): \[ 3(0)^2 + 4(0) + 1 = 1 > 0. \]

8. Теперь выводим промежутки, где неравенство выполняется: Неравенство \( 3x^2 + 4x + 1 < 0 \) выполняется на промежутке \( (-1, -\frac{1}{3}) \).

Таким образом, решение неравенства \( x(x-8) > (2x-1)^2 \) – это: \[ x \in \left(-1, -\frac{1}{3}\right). \]