Решите в натуральных числах уравнение m²=55+n² В ответ запишите сумму полученных значений
Чтобы решить уравнение \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах, сначала перепишем его в более удобной форме:
\[ m^2 - n^2 = 55 \]
Это уравнение можно представить как разность квадратов:
\[ (m - n)(m + n) = 55 \]
Теперь нам нужно найти такие натуральные числа \( m \) и \( n \), чтобы произведение \( (m - n)(m + n) = 55 \). Сначала найдем все возможные пары, которые дают в произведении 55. Делители 55: \( 1, 5, 11, 55 \). Рассмотрим их пары:
- \( (1, 55) \)
- \( (5, 11) \)
Шаг 1: Для пары \( (1, 55) \):
\[ m - n = 1 \] \[ m + n = 55 \]
Решим систему этих уравнений. Сложим их:
\[ 2m = 56 \implies m = 28 \]
Теперь подставим значение \( m \) в одно из уравнений:
\[ 28 - n = 1 \implies n = 27 \]
Таким образом, первая пара \( (m, n) = (28, 27) \).
Шаг 2: Для пары \( (5, 11) \):
\[ m - n = 5 \] \[ m + n = 11 \]
Также решим эту систему. Сложим уравнения:
\[ 2m = 16 \implies m = 8 \]
Подставим \( m \) в одно из уравнений:
\[ 8 - n = 5 \implies n = 3 \]
Таким образом, вторая пара \( (m, n) = (8, 3) \).
Теперь, у нас есть два решения: \( (28, 27) \) и \( (8, 3) \).
Сложим все уникальные значения \( m \):
\[ 28 + 8 = 36 \]
Таким образом, сумма полученных значений \( m \) равна \( 36 \).
