уравнение х²+y²-2x+6y=o в целых числах в ответе укажите наибольшее значение выражения х-3y

Чтобы решить уравнение \(x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0\) в целых числах и найти наибольшее значение выражения \(x - 3y\), сначала преобразуем уравнение.

1. Перепишем его, группируя \(x\) и \(y\): \[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) = 0 \]

2. Теперь завершим квадрат для \(x\) и \(y\): Для \(x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] Для \(y\): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

3. Подставим эти выражения обратно в уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Теперь у нас есть уравнение окружности с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\). Поскольку радиус является нецелым числом, мы ищем целые решения.

4. Найдем все целые точки \((x, y)\), которые удовлетворяют уравнению \((x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10\): Проверим возможные значения для \((x - 1)\) и \((y + 3)\):
   • \((x - 1)^2 = 0, 1, 4, 9\) соответствуют \((y + 3)^2 = 10, 9, 6, 1\).
   • Соответствующие пары для \((x - 1, y + 3)\):
     • \( (0, \pm \sqrt{10}) \) (не целые)
     • \( (\pm 1, \pm 3) \) => точки \((0, 0)\), \((2, 0)\)
     • \( (\pm 2, \pm 2) \) => точки \((3, -1)\), \((-1, -1)\)
     • \( (\pm 3, \pm 1) \) => точки \((4, -2)\), \((2, -2)\), \((-2, -2)\), \((0, -2)\)

Таким образом, целые решения уравнения:

• \((4, -2)\)
• \((2, -2)\)
• \((0, -2)\)
• \((-1, -1)\)
• \((3, -1)\)

Теперь вычислим значение \(x - 3y\) для полученных точек:

1. Для \((4, -2)\), \(4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10\)
2. Для \((2, -2)\), \(2 - 3(-2) = 2 + 6 = 8\)
3. Для \((0, -2)\), \(0 - 3(-2) = 0 + 6 = 6\)
4. Для \((-1, -1)\), \(-1 - 3(-1) = -1 + 3 = 2\)
5. Для \((3, -1)\), \(3 - 3(-1) = 3 + 3 = 6\)

Наибольшее значение выражения \(x - 3y\) достигается в точке \((4, -2)\) и равно \(10\).

Таким образом, наибольшее значение выражения \(x - 3y\) составляет \(10\).