(2-x)(3x+5)(x²-x+1)>0

Для решения неравенства (2-x)(3x+5)(x²-x+1)>0, давайте проанализируем каждую из частей.

1. Находим корни каждого множителя:

   • Первый множитель: \(2 - x = 0\) → \(x = 2\)
   • Второй множитель: \(3x + 5 = 0\) → \(x = -\frac{5}{3}\)
   • Третий множитель: \(x^2 - x + 1 = 0\). Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4*1*1 = 1 - 4 = -3\). Поскольку дискриминант отрицательный, у этого множителя нет действительных корней.

2. Определяем знаки множителей:

   • Известно, что \(x^2 - x + 1\) всегда положителен для любых действительных \(x\), поскольку это парабола с положительным ведущим коэффициентом.
   • Рассмотрим знаки первых двух множителей:
     • Множитель \(2 - x\):
       • Положителен при \(x < 2\)
       • Отрицателен при \(x > 2\)
     • Множитель \(3x + 5\):
       • Положителен при \(x > -\frac{5}{3}\)
       • Отрицателен при \(x < -\frac{5}{3}\)

3. Определяем промежутки, где произведение положительно:

   • Теперь найдем, когда произведение \((2-x)(3x+5)(x^2-x+1)\) больше нуля:

     • Анализируем знаки произведения на числовой прямой, рассматривая критические точки \(x = -\frac{5}{3}\) и \(x = 2\).

   • Разделим числовую прямую на три промежутка:

     1. \(x < -\frac{5}{3}\)
     2. \(-\frac{5}{3} < x < 2\)
     3. \(x > 2\)

   • Для этих промежутков определим знак:

     1. При \(x < -\frac{5}{3}\): \(2 - x > 0\), \(3x + 5 < 0\) → Произведение отрицательное.
     2. При \(-\frac{5}{3} < x < 2\): \(2 - x > 0\), \(3x + 5 > 0\) → Произведение положительное.
     3. При \(x > 2\): \(2 - x < 0\), \(3x + 5 > 0\) → Произведение отрицательное.

4. Записываем ответ:

   • Неравенство выполняется для промежутка \(-\frac{5}{3} < x < 2\).

Вывод: решение неравенства \((2-x)(3x+5)(x²-x+1)>0\) будет \(-\frac{5}{3} < x < 2\).