решите уравнение x2+y2-2x+6y=0 в целых числа.В ответе укажите наибольшее значение выражения x-3y
Для решения уравнения \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) сначала упростим его, приведя к более удобной форме.
Перепишем уравнение: \[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]
Теперь применим метод выделения полного квадрата. Начнем с \( x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] Для \( y \): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]
Подставим эти выражения обратно: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \] Упрощаем это: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]
Это уравнение описывает круг с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \).
Теперь нужно найти целые решения \( (x, y) \) этого уравнения. Целые точки на окружности можно найти по следующим координатам, которые удовлетворяют \( a^2 + b^2 = 10 \):
- \( (3, -4) \)
- \( (-1, -4) \)
- \( (1, -1) \)
- \( (1, -5) \)
- \( (4, -3) \)
- \( (-2, -3) \)
- \( (0, -3) \)
- \( (2, -3) \)
Теперь нужно рассмотреть значение \( x - 3y \) для этих целых решений:
Для \( (3, -4) \): \[ 3 - 3(-4) = 3 + 12 = 15 \]
Для \( (-1, -4) \): \[ -1 - 3(-4) = -1 + 12 = 11 \]
Для \( (1, -1) \): \[ 1 - 3(-1) = 1 + 3 = 4 \]
Для \( (1, -5) \): \[ 1 - 3(-5) = 1 + 15 = 16 \]
Для \( (4, -3) \): \[ 4 - 3(-3) = 4 + 9 = 13 \]
Для \( (-2, -3) \): \[ -2 - 3(-3) = -2 + 9 = 7 \]
Для \( (0, -3) \): \[ 0 - 3(-3) = 0 + 9 = 9 \]
Для \( (2, -3) \): \[ 2 - 3(-3) = 2 + 9 = 11 \]
Теперь подведем итоги:
- Значения выражения \( x - 3y \) равны \( 15, 11, 4, 16, 13, 7, 9, 11 \).
Наибольшее значение \( x - 3y \) среди найденных результата равно \( 16 \).
Следовательно, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно \( 16 \).
